Carta de Charles S. Peirce a Émile Plantamour
(Nueva York, 13.07.1877)



Esta carta, que propiamente es un amplio informe sobre la oscilación del péndulo reversible a causa de la flexibilidad de su soporte, fue enviada por C. S. Peirce el 13 de julio de 1877 desde Nueva York al profesor Émile Plantamour que se la había solicitado.

No se ha localizado todavía el origi
nal manuscrito. La imagen que aquí se reproduce procede del ejemplar de la litografía que se conserva actualmente en la ETH Bibliothek de Zurich [http://www.unav.es/gep/PlantamourDelinfluence27.08.77.pdf].
 


El informe de C. S. Peirce está precedido por la carta del 27 de agosto del profesor Plantamour remitiéndolo al general Ibáñez, presidente de la Asociación Geodésica Internacional.
Asociación Geodésica Internacional
__________________________



De la influencia de la flexibilidad
del trípode
en la oscilación del péndulo reversible

por
Mr. Peirce, del Coast Survey, U. S. A.



__________________________



Nota comunicada por Mr. E. Plantamour1



 

 



Nueva York, 42, 7th Street
13 de julio de 1877


Querido señor profesor,

Cuando se me confió la dirección de los estudios del Coast Survey de los Estados Unidos sobre la gravedad2 pedí a los Sres. Repsold un péndulo reversible que debía ser copia de aquel del Instituto Geodésico de Prusia. Pero los mecánicos estaban entonces tan ocupados con la construcción de los instrumentos necesarios para el tránsito de Venus que el péndulo no fue acabado hasta la primavera de 1875. Acudí entonces a Hamburgo para recibirlo, y de Hamburgo fui a Berlín, donde me encontré con Su Exc. el Sr. General Baeyer, poco satisfecho con los resultados obtenidos con un instrumento parecido. Se quejó sobre todo de la flexibilidad del soporte, fuente de error que seguramente nunca habrá escapado a la atención de los observadores del péndulo.* El apa-


*Sabemos que Kater hizo uso del péndulo reversible o "noddy" de Mr. Hardy3 para asegurar que no existía una oscilación de su soporte, isócrona a la del péndulo. Un escritor de la Encyclopedia Britannica propuso hacer uso de dos péndulos reversibles diferentes, con la misma forma pero diferentes pesos, para poder tener en consideración el error proveniente de la flexión. Bessel, en su gran memoria sobre la gravedad en Königsberg, resaltó que esta causa ejerce la misma influencia sobre el péndulo largo que sobre el corto, debido a que el efecto se elimina. La construcción de varios soportes pendulares, como el del Capitan Bassevi [sic], muestra una justa apreciación de esta dificultad.


rejo del péndulo que traje de América se estropeó en el transporte. Así, me vi forzado a hacer uso del instrumento que la gran autoridad del General Baeyer había considerado defectuoso, a pesar de la perfección del trabajo del que hace honor el célebre taller de donde proviene.

Así es como he sido llevado a hacer algunos experimentos con el propósito de medir y tener en cuenta este defecto.

Es posible imaginar un soporte tan desencajado que el péndulo, oscilando de un lado al otro, lance la pieza sobre la que reposa de una posición a otra, sin encontrar, hasta los puntos de reposo, otra resistencia que la de la inercia y la fricción. Pero no sucede así en los soportes que yo conozco; es lo que he verificado observándolos con un microscopio de gran capacidad y dándome cuenta de que vuelven siempre a la posición original de reposo después de toda flexión, tanto si es pequeña como si es grande.

En efecto, lo que tiene lugar es una flexión oscilatoria de un cuerpo elástico. La amplitud de esta oscilación es aproximadamente de cinco milésimas hasta la cuchilla inferior del péndulo; por lo que podemos pasar por alto el cuadrado de esta fracción.

La lengüeta sobre la que reposa la cuchilla es curva, sin duda, por el movimiento del péndulo, pero voy a pasar por alto este efecto, limitándome a considerar el movimiento del punto que está debajo de la mitad de la cuchilla. Cuando se aplica una fuerza horizontal perpendicular a la cuchilla, este punto hace un movimiento de revolución alrededor de un eje situado detrás y debajo de la base, a una distancia aproximada de un metro. Sin embargo, podemos pasar por alto la diferencia entre una revolución que pasa

 

solamente por algunos segundos de arco y una traslación. Hay todavía una cierta variación mínima en la presión vertical del péndulo sobre el soporte, pero está claramente lejos de producir un efecto sensible sobre la duración de una oscilación.

Nombremos,

m,
la masa de una partícula;
r
su distancia de la hoja de la cuchilla;
ω
el ángulo, en posición de reposo, entre la vertical y la perpendicular trazada desde el punto sobre la hoja de la cuchilla;
M,
la masa del péndulo;
h,
la longitud del péndulo simple teniendo el periodo del péndulo actual;
g,
la aceleración de la gravedad;
,
la elasticidad de la base;
t,
el tiempo;
φ,
el ángulo, en el momento t, entre la posición del péndulo y la de reposo;
S,
la distancia horizontal, en el momento t, del centro de la hoja de la cuchilla en la posición de reposo

Entonces, la velocidad horizontal de un punto será:

La velocidad vertical del mismo punto será:

 

La energía actual del punto será:

Y la energía actual del péndulo será:

En cuanto a la energía del movimiento de la base, podemos pasarla por alto, puesto que se compone de un pequeño momento de inercia multiplicado por el cuadrado de una velocidad muy pequeña. El diferencial de la energía positiva es:

Hay en verdad un tercer término que depende de la fricción entre las moléculas de la base. Pero creo que podemos pasar por alto este término, dado que el efeceto debe ser poco considerable, y dado que el coeficiente es, en todo caso, desconocido.

Se deducen, de las expresiones para la energía actual y potencial, las ecucaciones diferenciales

Pero la amplitud de S multiplicada por la de φ, y dividida por h, da una cifra insignificante. Además, el efecto de una variación de amplitud de φ debe ser insensible sobre la corrección para la flexión. Es por lo que la podemos escribir

 

Para resolver estas ecuaciones, multiplicamos la segunda por X, y la unimos con la primera. Obtendremos

y, planteando

la ecuación se reduce a la forma

en la que la integral es

La ecuación para determinar X resulta

O aproximadamente

Así los dos valores de X serán

 

Sustituyendo estos dos valores en la ecuación integral, tendremos las dos ecuaciones siguientes entre φ y S.

de donde despejamos

Ahora, se trata de determinar las constantes arbitrarias. Debemos considerar entonces que al poner en movimiento el péndulo lo empujamos de lado, aplicando el dedo cerca de la cuchilla inferior, y entonces lo dejamos ir. Así, dado que t es nulo, Dtφ y DtS, son también nulas, de forma que y1 e y2 desaparecen. En el primer instante, la fuerza horizontal sobre la cuchilla es

Lo que resulta de sustituir los valores de φ y de S

o, aproximadamente

 

Así, escribiendo A= (l-h) A1, tendremos

El segundo término de φ no es más que 1/300.000 del primero, así que podemos pasarlo por alto.

Calculamos φ, observando la desviación, S, de la base, producida por una fuerza horizontal igual a la unidad del peso; que se escribiría

O sustituyendo este valor, concluimos lo siguiente

Así, el efecto sobre el péndulo es el de darle una longitud virtual más grande que su longitud actual mediante

Indicamos la duración de una oscilación con T, y las correcciones provenientes de la flexión con Δ; entonces,

 

tenemos

y

Sin embargo, diferenciando las cifras subyacentes de las dos posiciones del péndulo reversible, la fórmula para la reducción de los resultados obtenidos de un péndulo tal es

de donde

o bien

o incluso, considerando λ para la longitud del péndulo en segundos,

Para determinar la cantidad de la flexión, paso por la ranura de la lengüeta, debajo del centro de la cuchilla, una cuerda que se extiende horizontal y perpendicularmente a la cuchilla, que pasa sobre la rueda de una máquina de Atwood (convenientemente dispuesta para ese fin) en cuyo extremo está suspendido un kilogramo de peso. En el extremo de la hoja o incluso sobre un brazo

 

añadido pegamos una escala microscópica de vidrio girada de tal forma que podamos medir la flexión con la ayuda de un micrómetro colocado convenientemente. Este descansa sobre un soporte propio e independiente cuyo poste se compone de un tubo de gas con un diámetro de alrededor de diez centímetros.

He aquí ahora los experimentos que he hecho para determinar la posición del eje fijo alrededor del que gira la cuchilla.

A. Experimentos realizados a nivel del plano de suspensión

Hoboken, 10 de marzo de 1877. Temperatura 13ºC

 

Distancia de la escala
por delante del extremo de
la lengüeta
Flexión en revoluciones
de la vista micrométrica


- 0m.  496
+0.  053
+0.  318
observada

+  0.  211
+  0.  356
+  0.  436
calculada

+  0.  209
+  0.  358
+  0.  431

 

Las cantidades calculadas suponen que el eje corta el nivel del plano de suspensión, a una distancia de 11.355 por detrás del extremos anterior de la lengüeta.

B. Experimentos realizados en la vertical del extremo anterior

Hoboken, 12 de marzo de 1877. Temp. 14ºC. Obs. hechas por el ayudante Smith4

Distancia de la escala
debajo de la cuchilla
Flexión en revoluciones
de la vis. microscópica

- 0m.  44
  0.  000
+0.  395
observada

+  0.  196
+  0.  340
+  0.  446
calculada

+  0.  196
+  0.  332
+  0.  454

 

 

Las cantidades calculadas suponen que el eje corta la vertical del extremo anterior de la lengüeta, a una distancia de 1m,07. por encima del plano de suspensión. No hay nada de sorprendente en que el eje en ese instante esté por encima del plano de suspensión. Supongamos, de hecho, que la flexión permaneciera exclusivamente en los tres pies del soporte. En ese caso, el movimiento del extremo superior de cada pie sería perpendicular al sentido general del pie, y, al mismo tiempo, perpendicular al radio de la circunferencia de revolución, de forma que el pie se dirigiría directamente hacia el eje fijo. El eje está, sin duda, por detrás del soporte a causa de la flexión de la propia hoja.

He realizado, en Ginebra, París, Berlín y Nueva York experimentos para determinar el valor numérico de S. El experimento de Ginebra, realizado el 13 de septiembre de 1875, solo fue un ensayo. Pero yo tenía una rueda mejor, que había tomado prestada del taller de la Société Genevoise para la construcción de instrumentos de física, y obtuve como valor aproximado

S= 0mm.034

La polea que utilicé en París tenía una fricción muy considerable, a la que debimos atribuir la circunstancia de que las cifras registradas distaban más de lo debido de aquellas que obtuve con la ayuda de mejores aparatos. Estas son las cifras

El 18 de enero de 1876, casa de M. M. Brünner (Temp. 1ºC) S=0mm.0363
El 7 de marzo de 1876, en el Observatorio de París (Temp. 9ºC) S=0,0371

En Berlín hice uso de una rueda muy delicada, que gira sobre unos grandes rodamientos para disminuir la fricción. Pertenece a un gabinete de física del Instituto tecnológico de Berlín, y fue puesta a mi disposición gracias a la bondad del Profesor Paalzow. Las lecturas micrométricas fueron realizadas alternativamente sin el peso y con el peso, tomando cada

 

vez una sola lectura, para que el soporte del micrómetro, siendo de madera, soportara todo el tiempo un movimiento acompasado. Además, realizaba siempre once lecturas con la disposición del peso con la que había comenzado la serie, y solo diez en la otra disposición, de forma que en un tiempo medio ocurriera lo mismo en las dos disposiciones. El valor de la revolución de la visión micrométrica ha sido medido de forma separada. He aquí los resultados de las diferentes series de medidas.



24 de mayo 1876 A.M. S= 0mm, 0340
Temp. 13ºC      P.M.           ", 0339
            ", 0340
            ", 0341
25 de mayo 1876 Temp 13ºC           ", 0337
            ", 0336
___________
La media
     S= 0, 0339 ‡ 0,0001

En Hoboken (cerca de Nueva York) obtuve, gracias a la benevolencia del Profesor Morton, una rueda excelente que había sido elaborada en un taller del Stevens Institute of Technology. Siempre realicé una lectura sobre cada una de las dos líneas de la escala antes de cambiar la disposición del peso. Estos son los resultados de las series separadas.

7 de marzo 1877. Temp. 15ºC S= 0mm, 0,3402  
10 de marzo 1877. Temp. 12ºC             0,0332  
                ,0337  
                ,0343  
                ,0342  
                ,0339  
                ,0334  
                ,0342
              ,0342
Estas dos series deben recibir un peso doble en la reducción
La media
S= 0, 0340 ‡ ,0001  

 

He aquí el valor que yo prefiero.

Se deduce de la determinación de la posición del eje de rotación arriba descrita que el extremo anterior de la hoja se aleja de este por √1m.355x1m.07=1m.20 y dado que el movimiento de este extremo con el peso de un kilogramo es St0mm.0008=0mm.0348, deducimos que la torsión del soporte por esta fuerza es 0mm.0348/1m.20=0,0000290=5"98. Aunque no haya nada de sospechoso en este resultado, he fijado un espejo sobre el extremo de la hoja, y con la ayuda de un telescopio he medido la torsión mediante el reflejo de una escala, encontrándola 6". Naturalmente, este método no tiene la exactitud del otro.

Para llegar a una confirmación de la teoría tengo las siguientes observaciones sobre la flexión producida por la oscilación del mismo péndulo en esas dos posiciones, sirviéndome de un microscopio muy potente (es decir, de 500 diámetros de aumento). La escala empleada ha sido realizada por Mr. Rogers, del Observatorio de la Universidad de Harvard. Está dividida con una exactitud extrema de cuatro milésimas en cuatro milésimas (1/4000) de una pulgada. Estaba sujeta 70 milímetros por delante del centro de la cuchilla, lo que da una corrección de S de + 0mm.0019. Si Φ es el eje de oscilación del péndulo, la amplitud doble de la vibración de la escala debe ser



y M=6-25. Esta es la fórmula de la que me he servido para calcular las cantidades siguientes.

 

Hoboken; 20 de marzo de 1877


A. Extremo pesado del péndulo abajo.


Arco del péndulo
Amplitud de la oscilación
de la escala en sus grados.
   
observada
calculada
32'
2,2
2,2
2
30
2,1
2,1
2
24
2,0
2,1
2
22
1,9
2.0
2
20
1,9
2,0
2
19
1,95
2,0
1
43
1,5
1,5
0
47
0,8
0,7

B. Extremo pesado arriba

2
39
1,0
1,0
2
34
0,9
1,0
2
29
0,9
0,9
2
25
0,9
0,9
2
22
0.8
0,9
2
14
0.8
0,8
2
12
0,8
0,8
2
06
0,7
0,8
2
04
0,75
0,8
1
57
0,75
0,7
1
51
0,75
0,7

 

Realizando estas observaciones, percibí claramente la pequeña vibración subsidiaria al final de cada oscilación proveniente del segundo término de la fórmula.

Finalmente hice oscilar el péndulo sobre dos soportes de flexibilidad diferente. El primero de ellos es el soporte Repsold, aquel del que se dan arriba las medidas de flexión. El otro estaba hecho sosteniendo la cabeza del soporte de Repsold en una base gruesa por medio de tuercas de bronce que pasaban por tres agujeros para los tres pies. Estos agujeros son de forma cónica y las tuercas se adaptan perfectamente. He colocado en cada tuerca, entre la cabeza del soporte y la base, una arandela de plomo, de forma que, cortando las tuercas por debajo de la base, la unión resulta más sólida y solucionamos a la vez el nivel, comprimiendo las arandelas. La base, que tiene un grosor de 5 centímetros, ha sido cortada para hacer sitio al péndulo, y ha sido apretada con fuerza entre un muro de piedra y un gran pilar de ladrillos. Ha sido horadada con una pendiente donde podemos hacer entrar la rueda de la máquina Atwood para medir la flexión.

He aquí los experimentos sobre la flexión de este soporte.

Hoboken, 21 de mayo, 1877

Distancia de la escala por delante del centro del cuchillo, en pulgadas Distancia de la escala por debajo del plano de suspensión, en pulgadas Flexión en milímetros bajo el peso de un kilo Temperatura C Observador
+1,2
-1,3
+0,0052
18º,3
E.S.
+1,2
-1,3
+0,0052
18,9
E.S.
+1,2
+39,5
-0,0425
20.0
C.S.P.
+13,2
+39,5
-0,0367
C.S.P.

Resulta que para este aparejo S=0mm.0031, y que la diferencia

 

de S para los dos soportes es 0mm.0309. Ahora encuentro segundos siderales, y l=1m; así concluimos

He hecho oscilar el péndulo tres veces sobre el soporte menos sólido y una vez sobre el más sólido, para verificar la teoría. He observado diez pasos del péndulo por la vertical cada 5 minutos, sirviéndome del relé que he inventado para ello.

A. Oscilaciones sobre el soporte Repsold

Hoboken, 1 de abril de 1877

Extremo pesado arriba


Número de oscilaciones Intervalo por conómetro Reducción en el arco infinitamente pequeño Intervalo corregido Duración de una oscilación
300
301s,9652
-0s,0130
302s,9522
1,006507
296
297,9408
-0,0084
297,9324
528
298
299,9533
-0,0060
299,9473
535
_________
      De media*
1,0065238


Extremo pesado abajo

296
297,9094
-0,0092
297 ,9002
1,006420
302
303,9376
-0,0081
303,9295
389
296
297,9060
-0,0066
297,8994
417
_________
      De media
1,0064067

Así tenemos

T21= 1.0128544
T22= 1,0130902


*Cuando tenemos una serie de intervalos consecutivos iguales, si n es el número de intervalos e i es el número de uno de ellos, tomando la media debemos dar a ese intervalo, el peso i n -i (i-1).

 

Y dado que h1 : h2 = 101 : 44, nombramos

Este valor debe ser corregido debido a la marcha del cronómetro y a la temperatura. El cronómetro se retrasa por día 0s.86, lo que supone una corrección de T2X+0.000020. La temperatura durante el tiempo en que el extremo pesado estaba arriba era de 12º,7 de media, y mientras que este extremo estaba abajo, era de 12º,9. Así para reducir a 13ºC, hay que aplicar una corrección de

De donde concluimos que

 

7 de abril de 1877

Extremo pesado abajo

Número de oscilaciones Intervalo por conómetro Reducción del arco infinitamente pequeño Intervalo corregido Duración de una oscilación

290
291s,8794
-0s,0103
291s,8691
1,006445
296
297,9131
-0,0086
297,9045
434
298
299,9241
-0,0073
299,9168
432
298
299,9241
-0,0060
299,9181
437
358
360,3090
-0,0058
360,3032
434
____________
      De media
1,0064357


Extremo pesado arriba

288
289,9026
-0,0132
289,8894
1,006560
298
299,9648
-0,0092
299,9556
562
300
301,9760
-0,0067
301,9693
564
298
299,9564
-0,0051
299,9513
548
298
299,9591
-0,0037
299,9524
552
____________
       
1,0065578

Así tenemos

T21= 1,0129128
T22= 1,0131586
 
=1,012723
Corrección diurna +0s.44
+.000010
Temp. 15º.8 en las dos posiciones
-.000052
_________________
a 13ºC
1,012681

 

8 de abril 1877

Extremo pesado arriba



Número de oscilaciones Intervalo por conómetro Reducción en el arco infinitamente pequeño Intervalo corregido Duración de una oscilación

298
299s,9647
-0s,0175
299s,9472
1,006534
298
299,9549
-0,0111
299,9438
523
298
299,9339
-0,0080
299,9459
530
298
299,9484
-0,0055
299,9429
520
298
299,9481
-0,0039
299,9442
526
____________
       
1,0065261


Extremo pesado abajo


298
299s,9229
-0s,0066
299s,9163
1,006431
298
299,9213
-0,0058
299,9155
426
297
299,9125
-0,0049
299,9076
423
299
299,9236
-0,0042
299,9194
419
298
299,9171
-0,0035
299,9136
422
____________
       
1,0064246


 
T21=1,0128905
 
T21=1,0130948
 
= 1,012733
Corrección diurna -0s.41
-,000009
Temperatura extremo pesado arriba 13º,2
-,000016
Extremo pesado debajo 13,5
______________________
a 13º
1.012708

 

Así, los tres experimentos sobre el soporte Repsold concluyen el valor de a 13ºC

1 abril 1,012691
7 " 1,012681
8 " 1,012708
De media 1,012693


B. Oscilación sobre el soporte más sólido

Hoboken, 14 de mayo 1877

Extremo pesado abajo

Instante medio de diez pasos
Intervalo de 298 oscilaciones
Reducción del arco infinitamente pequeño
Intervalo corregido
Intervalo de 298 oscilaciones
Reducción del arco infinitamente pequeño
Intervalo corregido
14h 06m 22s 4307            
07.22.82.45            
11.22.3337 299s.9030 -.0132 299s.8898      
12.22.7213       299.8968 0.0126 299s.8842
16.22.2313 299.8976 -.0110 299.8866      
17.22.6209       299.8996 -0706 299.8890
22.22.5145       299.8936 -0087 299.8849
23.22.9017            
27.22.4055       299.8910 -0074 299.8836
28.22.7949 299.8932 -0072 299.8860      
33.22.6896 299.8947 -0060 299.8887      

De media T1 = 1.0063371

 

Extremo pesado arriba


Instante medio de diez pasos Intervalos de 298 oscilaciones Reducción del arco infinitamente pequeño Intervalos corregidos
15h53m 22s 4041      
58 22 3519 299s.9538 -.0198 299s.9340
16 03 22 3058 29.9479 -.0131 299.9348
08 22 2531 299.9473 -.0087 299.9386
13 22 2119 299.9588 -.0062 299.9526
18 22 1554 299.9435 -.0044 299.9391
23 22 1011 299.9457 -.0031 299.9420

De media T2=1.0065104

Así hallamos

  T21 = 1.0127144
  T22 = 1.0130632
  =1.012445
Corrección diurna del cronómetro 2s.59 +.000060
Temperatura extrema pesado debajo: 14º.18
" " en lo alto: 15.00
-.000010
a 13ºC 1.012495

Comparando este valor con el que hemos obtenido de los resultados con el otro soporte hallamos una diferencia de .000198. La diferencia según el cálculo de los experimentos sobre la flexión es de .000191, lo que presenta una concordancia aceptable.

 

 

 

Acepte, querido señor, la expresión de mis sentimientos devotos y agradecidos.

C. S. Peirce
Asistente, U. S. Coast Survey



Notas

1. No hemos localizado el texto original que utilizó Plantamour para la edición de esta litografía que se distribuyó con antelación a los asistentes al Congreso de la Asociación Internacional de Geodesia que tendría lugar en Stuttgart en septiembre de 1877. En la Houghton Library (MS 1061) se conserva un manuscrito con el título "Sur la flexion des pieds des pendules" que es un borrador de este informe. Este informe se reproducirá también en el volumen de actas del congreso (anexo I, pp. 172-187) y traducido por el propio Charles S. Peirce al inglés "On the Influence of the Flexibility of the Support on the Oscillation of a Pendulum", Report of the Superintendent of the U. S. Coast and Geodetic Survey, 1881 (Washington, Government Printing Office, 1883), 427-436.

2. Charles S. Peirce fue puesto a cargo de los experimentos sobre la gravedad con el péndulo por parte de su padre Benjamin, entonces superintendente del Coast Survey, en noviembre de 1872.

3. Se trata de Thomas Hardy, un conocido fabricante de cronómetros inglés de principios del siglo XIX, citado por el capitán Kater y por Charles S. Peirce en W4: 160, 515, 526 y W5: 262. El noddy de Hardy es un péndulo colocado sobre el soporte de otro péndulo de forma que oscile en un plano paralelo.

4. Se trata de Edwin Smith (1851-1912), astrónomo y geodesta norteamericano; trabajaba para el US Coast Survey. Pueden encontrarse referencias a sus publicaciones en los apéndices del Coast Survey Reports. En "On the flexure of Pendulum Supports", Coast Survey Report 1881, 524, es citado por C. S. Peirce como observador el 12 de marzo de 1877. También será citado por C. S. Peirce en "Determinations of Gravity at Allegheny, Ebensburg, and York, Pa., in 1879 and 1880", Coast Survey Report 1883, 473-87 (W4: 10 y 18).


Traducción de Albi Castilla (2017)
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Proyecto de investigación "La correspondencia del tercer viaje europeo de Charles S. Peirce (septiembre-noviembre 1877)"

Fecha del documento: 2 de mayo 2017
Última actualización: 28 de julio 2017

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