Me parece que los resultados de aplicar la lógica a la formación de una notación algebraica son como sigue:

1. Los primeros signos requeridos son los signos de inferencia. Si nos limitamos al razonamiento deductivo solo necesitamos tener uno de estos. Supongamos, por ejemplo, que ∴ es el símbolo ergo.

2. El siguiente signo requerido es la cópula. Supongamos que -< es la cópula natural. Significa alguna clase de relaciones tal que:

2º x-<x, cualquiera que sea x.

1º Si x-<y e y-<z entonces x-<z cualquiera que sean x, y y z.

3º Si x-<y e y-<z entonces x e y pueden sustituirse uno por otro en todas partes.

De las diversas clases de relaciones para las que estas condiciones se sostienen puede usarse el signo -< para denotar cualquiera o podemos distinguir -<, -<', -<'', añadiendo acentos para distinguir las diferentes significaciones del signo. Correspondiendo a cada significado hay un segundo que podemos omitir -<, tal que x-<y es lo mismo que y-<x.

No es necesario ningún otro signo copulativo, pero como el álgebra es un arte de facilitar el razonamiento se necesita otro signo =. Decir que x=y significa que x-<y e y-<x. La razón para preferir

3. Los siguientes signos requeridos son los signos de operaciones. El primero de ellos que requiere la lógica es el signo de combinación &⁴, cuyas condiciones de aplicación son

1º x-<x & y

2º y-<x & y

3º Si x-<z e y-<z entonces x & y-<z.

El signo & es aplicable a cualquier operación que cumpla esas condiciones. Sus diferentes significaciones pueden distinguirse mediante acentos &', &'', etc. Correspondiendo a cada significación de & hay otro en cuyas condiciones -< es sustituido por -<. Podemos denotar esto mediante x,.

Correspondiendo a la operación de combinación está la operación inversa de la excepción, que puede ser denotada mediante —, cuya definición es que x—, y<z significa lo mismo que x-<y +, z. Puede señalarse que x—,y es lo mismo que x x, (∞—,y).

Cuando los términos se toman en el sentido vago es útil emplear la operación de adición, que difiere de la conjunción en tanto que x+x no es tan igual a x como x+, x es; y en breve las condiciones que la definen

1º x+y igual que x+,y si x//y

2º x+x no es igual que x

I

La primera clase de signos algebraicos son los signos de inferencia. Estos serán de diversos tipos y deben indicar la probabilidad de la inferencia. Pero esta rama de la notación algebraica está todavía tan poco desarrollada que tenemos solo un signo inferencial ∴ que indica perfecta demostración.

II

La segunda clase de los signos algebraicos son las cópulas. La primera y más importante de ellas es -<. Significa que cualquier cosa que pueda ser denotada por aquello que la precede tiene todas las características comunes a todos aquellos objetos que pueden ser denotados por aquello que le sigue. Pero de acuerdo con la forma de la denotación la cópula puede tener diversos significados. Así "hombre -< animal"

La notación algebraica es un sistema arbitrario de signos adecuado para representar las relaciones de los objetos de tal manera que se facilite el razonamiento sobre ellos.

La primera clase de signos algebraicos consiste en los signos de inferencia. Estos deben indicar la probabilidad de la inferencia. Hasta ahora solamente un signo ha sido usado, el de la ilación demostrativa ∴

La segunda clase de los signos algebraicos son las cópulas. La primera de ellas es -<. Significa que cualquier cosa que corresponda a aquello que la precede tiene todas las características comunes a todos los objetos que corresponden a aquello que le sigue. El significado del signo puede variar según la forma de la correspondencia. Así "hombre -< pecador" puede usarse para denotar que todo hombre es un pecador o que toda cualidad de todo hombre es una cualidad de todos los pecadores o que el número de hombres es tan grande o tan pequeño como el número de pecadores, etc. Pueden añadirse acentos al signo general cuando sea necesario para distinguir los diferentes significados. La definición que acabamos de dar de este signo es precisamente equivalente a tres condiciones algebraicas, a saber

1º Si x-<y e y-<z entonces x-<z cualesquiera que sean x, y, y z.

2º x-<x

3º Si x-<y e y-<x entonces x e y pueden sustituirse uno por el otro en cualquier lugar.

Toda significación de la cópula de inclusión -< tiene un significado inverso -<', de modo que x-<y es lo mismo que y-<'x.

La cópula sugiere y define dos términos-signos lógicos. Son cero 0, e ∞ infinito. Sus definiciones son como sigue:

Cero es un término tal que 0-<x cualquiera que sea x;

Infinito es tal que x-<∞ cualquiera que sea x. Por supuesto el cero de una progresión puede no ser el cero de otra progresión, y por tanto he agrandado mucho los significados habituales de las palabras en estas definiciones.

La cópula de inclusión está sujeta a reglas de manipulación algebraica bastante complicadas. Para simplificar ese proceso podemos usar la cópula de identidad =. La definición de esta es que x=y es lo mismo que x-<y e y-<x.

La tercera clase de signos algebraicos consiste en los signos de operación. Los signos de operación son de tres órdenes según si son aplicables a todos los términos o solo a los términos relativos y conjugativos o solo a los términos conjugativos. El signo de conjunción +, es el primer signo del primer orden. Se define mediante tres condiciones, como sigue:

1º x-<x +,y 2º y-<x +, y

3º Si x-<z e y-<z entonces x+,y-<z.