Esta carta, que propiamente es un amplio informe sobre la oscilación del péndulo reversible a causa de la flexibilidad de su soporte, fue enviada por C. S. Peirce el 13 de julio de 1877 desde Nueva York al profesor Émile Plantamour, que se la había solicitado.
No se ha localizado todavía el original manuscrito. La imagen que aquí se reproduce procede del ejemplar de la litografía que se conserva actualmente en la ETH Bibliothek de Zurich [http://www.unav.es/gep/PlantamourDelinfluence27.08.77.pdf].
El informe de C. S. Peirce está precedido por la carta del 27 de agosto del profesor Plantamour remitiéndolo al general Ibáñez, presidente de la Asociación Geodésica Internacional. |
__________________________ De la influencia de la flexibilidad del trípode en la oscilación del péndulo reversible por Mr. Peirce, del Coast Survey, U. S. A. __________________________ Nota comunicada por Mr. E. Plantamour1
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Cuando se me confió la dirección de los estudios del Coast Survey de los Estados Unidos sobre la gravedad2 pedí a los Sres. Repsold un péndulo reversible que debía ser copia de aquel del Instituto Geodésico de Prusia. Pero los mecánicos estaban entonces tan ocupados con la construcción de los instrumentos necesarios para el tránsito de Venus que el péndulo no fue acabado hasta la primavera de 1875. Acudí entonces a Hamburgo para recibirlo, y de Hamburgo fui a Berlín, donde me encontré con Su Exc. el Sr. General Baeyer, poco satisfecho con los resultados obtenidos con un instrumento parecido. Se quejó sobre todo de la flexibilidad del soporte, fuente de error que seguramente nunca habrá escapado a la atención de los observadores del péndulo.* El apa- *Sabemos que Kater hizo uso del péndulo reversible o "noddy" de Mr. Hardy3 para asegurar que no existía una oscilación de su soporte, isócrona a la del péndulo. Un escritor de la Encyclopedia Britannica propuso hacer uso de dos péndulos reversibles diferentes, con la misma forma pero diferentes pesos, para poder tener en consideración el error proveniente de la flexión. Bessel, en su gran memoria sobre la gravedad en Königsberg, resaltó que esta causa ejerce la misma influencia sobre el péndulo largo que sobre el corto, debido a que el efecto se elimina. La construcción de varios soportes pendulares, como el del Capitan Bassevi [sic], muestra una justa apreciación de esta dificultad. |
rejo del péndulo que traje de América se estropeó en el transporte. Así, me vi forzado a hacer uso del instrumento que la gran autoridad del General Baeyer había considerado defectuoso, a pesar de la perfección del trabajo del que hace honor el célebre taller de donde proviene.
Así es como he sido llevado a hacer algunos experimentos con el propósito de medir y tener en cuenta este defecto. Es posible imaginar un soporte tan desencajado que el péndulo, oscilando de un lado al otro, lance la pieza sobre la que reposa de una posición a otra, sin encontrar, hasta los puntos de reposo, otra resistencia que la de la inercia y la fricción. Pero no sucede así en los soportes que yo conozco; es lo que he verificado observándolos con un microscopio de gran capacidad y dándome cuenta de que vuelven siempre a la posición original de reposo después de toda flexión, tanto si es pequeña como si es grande. En efecto, lo que tiene lugar es una flexión oscilatoria de un cuerpo elástico. La amplitud de esta oscilación es aproximadamente de cinco milésimas hasta la cuchilla inferior del péndulo; por lo que podemos pasar por alto el cuadrado de esta fracción. La lengüeta sobre la que reposa la cuchilla es curva, sin duda, por el movimiento del péndulo, pero voy a pasar por alto este efecto, limitándome a considerar el movimiento del punto que está debajo de la mitad de la cuchilla. Cuando se aplica una fuerza horizontal perpendicular a la cuchilla, este punto hace un movimiento de revolución alrededor de un eje situado detrás y debajo de la base, a una distancia aproximada de un metro. Sin embargo, podemos pasar por alto la diferencia entre una revolución que pasa |
solamente por algunos segundos de arco y una traslación. Hay todavía una cierta variación mínima en la presión vertical del péndulo sobre el soporte, pero está claramente lejos de producir un efecto sensible sobre la duración de una oscilación.
Nombremos,
Entonces, la velocidad horizontal de un punto será: La velocidad vertical del mismo punto será: |
La energía actual del punto será: Y la energía actual del péndulo será: En cuanto a la energía del movimiento de la base, podemos pasarla por alto, puesto que se compone de un pequeño momento de inercia multiplicado por el cuadrado de una velocidad muy pequeña. El diferencial de la energía positiva es: Hay en verdad un tercer término que depende de la fricción entre las moléculas de la base. Pero creo que podemos pasar por alto este término, dado que el efeceto debe ser poco considerable, y dado que el coeficiente es, en todo caso, desconocido. Se deducen, de las expresiones para la energía actual y potencial, las ecucaciones diferenciales Pero la amplitud de S multiplicada por la de φ, y dividida por h, da una cifra insignificante. Además, el efecto de una variación de amplitud de φ debe ser insensible sobre la corrección para la flexión. Es por lo que la podemos escribir |
Para resolver estas ecuaciones, multiplicamos la segunda por X, y la unimos con la primera. Obtendremos y, planteando la ecuación se reduce a la forma en la que la integral es La ecuación para determinar X resulta O aproximadamente Así los dos valores de X serán |
Sustituyendo estos dos valores en la ecuación integral, tendremos las dos ecuaciones siguientes entre φ y S. de donde despejamos Ahora, se trata de determinar las constantes arbitrarias. Debemos considerar entonces que al poner en movimiento el péndulo lo empujamos de lado, aplicando el dedo cerca de la cuchilla inferior, y entonces lo dejamos ir. Así, dado que t es nulo, Dtφ y DtS, son también nulas, de forma que y1 e y2 desaparecen. En el primer instante, la fuerza horizontal sobre la cuchilla es Lo que resulta de sustituir los valores de φ y de S o, aproximadamente |
Así, escribiendo A= (l-h) A1, tendremos El segundo término de φ no es más que 1/300.000 del primero, así que podemos pasarlo por alto. Calculamos φ, observando la desviación, S, de la base, producida por una fuerza horizontal igual a la unidad del peso; que se escribiría O sustituyendo este valor, concluimos lo siguiente Así, el efecto sobre el péndulo es el de darle una longitud virtual más grande que su longitud actual mediante Indicamos la duración de una oscilación con T, y las correcciones provenientes de la flexión con Δ; entonces, |
tenemos y Sin embargo, diferenciando las cifras subyacentes de las dos posiciones del péndulo reversible, la fórmula para la reducción de los resultados obtenidos de un péndulo tal es de donde o bien o incluso, considerando λ para la longitud del péndulo en segundos, Para determinar la cantidad de la flexión, paso por la ranura de la lengüeta, debajo del centro de la cuchilla, una cuerda que se extiende horizontal y perpendicularmente a la cuchilla, que pasa sobre la rueda de una máquina de Atwood (convenientemente dispuesta para ese fin) en cuyo extremo está suspendido un kilogramo de peso. En el extremo de la hoja o incluso sobre un brazo |
añadido pegamos una escala microscópica de vidrio girada de tal forma que podamos medir la flexión con la ayuda de un micrómetro colocado convenientemente. Este descansa sobre un soporte propio e independiente cuyo poste se compone de un tubo de gas con un diámetro de alrededor de diez centímetros.
He aquí ahora los experimentos que he hecho para determinar la posición del eje fijo alrededor del que gira la cuchilla. A. Experimentos realizados a nivel del plano de suspensión Hoboken, 10 de marzo de 1877. Temperatura 13ºC
Las cantidades calculadas suponen que el eje corta el nivel del plano de suspensión, a una distancia de 11.355 por detrás del extremo anterior de la lengüeta. B. Experimentos realizados en la vertical del extremo anterior Hoboken, 12 de marzo de 1877. Temp. 14ºC. Obs. hechas por el ayudante Smith4
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Las cantidades calculadas suponen que el eje corta la vertical del extremo anterior de la lengüeta, a una distancia de 1m,07. por encima del plano de suspensión. No hay nada de sorprendente en que el eje en ese instante esté por encima del plano de suspensión. Supongamos, de hecho, que la flexión permaneciera exclusivamente en los tres pies del soporte. En ese caso, el movimiento del extremo superior de cada pie sería perpendicular al sentido general del pie, y, al mismo tiempo, perpendicular al radio de la circunferencia de revolución, de forma que el pie se dirigiría directamente hacia el eje fijo. El eje está, sin duda, por detrás del soporte a causa de la flexión de la propia hoja. He realizado, en Ginebra, París, Berlín y Nueva York experimentos para determinar el valor numérico de S. El experimento de Ginebra, realizado el 13 de septiembre de 1875, solo fue un ensayo. Pero yo tenía una rueda mejor, que había tomado prestada del taller de la Société Genevoise para la construcción de instrumentos de física, y obtuve como valor aproximado La polea que utilicé en París tenía una fricción muy considerable, a la que debimos atribuir la circunstancia de que las cifras registradas distaban más de lo debido de aquellas que obtuve con la ayuda de mejores aparatos. Estas son las cifras: El 18 de enero de 1876, casa de M. M. Brünner (Temp. 1ºC) S=0mm.0363 El 7 de marzo de 1876, en el Observatorio de París (Temp. 9ºC) S=0,0371 En Berlín hice uso de una rueda muy delicada, que gira sobre unos grandes rodamientos para disminuir la fricción. Pertenece a un gabinete de física del Instituto tecnológico de Berlín, y fue puesta a mi disposición gracias a la bondad del Profesor Paalzow. Las lecturas micrométricas fueron realizadas alternativamente sin el peso y con el peso, tomando cada |
vez una sola lectura, para que el soporte del micrómetro, siendo de madera, soportara todo el tiempo un movimiento acompasado. Además, realizaba siempre once lecturas con la disposición del peso con la que había comenzado la serie, y solo diez en la otra disposición, de forma que en un tiempo medio ocurriera lo mismo en las dos disposiciones. El valor de la revolución de la visión micrométrica ha sido medido de forma separada. He aquí los resultados de las diferentes series de medidas.
En Hoboken (cerca de Nueva York) obtuve, gracias a la benevolencia del Profesor Morton, una rueda excelente que había sido elaborada en un taller del Stevens Institute of Technology. Siempre realicé una lectura sobre cada una de las dos líneas de la escala antes de cambiar la disposición del peso. Estos son los resultados de las series separadas.
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He aquí el valor que yo prefiero. Se deduce de la determinación de la posición del eje de rotación arriba descrita que el extremo anterior de la hoja se aleja de este por √1m.355x1m.07=1m.20 y dado que el movimiento de este extremo con el peso de un kilogramo es St0mm.0008=0mm.0348, deducimos que la torsión del soporte por esta fuerza es 0mm.0348/1m.20=0,0000290=5"98. Aunque no haya nada de sospechoso en este resultado, he fijado un espejo sobre el extremo de la hoja, y con la ayuda de un telescopio he medido la torsión mediante el reflejo de una escala, encontrándola 6". Naturalmente, este método no tiene la exactitud del otro. Para llegar a una confirmación de la teoría tengo las siguientes observaciones sobre la flexión producida por la oscilación del mismo péndulo en esas dos posiciones, sirviéndome de un microscopio muy potente (es decir, de 500 diámetros de aumento). La escala empleada ha sido realizada por Mr. Rogers, del Observatorio de la Universidad de Harvard. Está dividida con una exactitud extrema de cuatro milésimas en cuatro milésimas (1/4000) de una pulgada. Estaba sujeta 70 milímetros por delante del centro de la cuchilla, lo que da una corrección de S de + 0mm.0019. Si Φ es el eje de oscilación del péndulo, la amplitud doble de la vibración de la escala debe ser y M=6-25. Esta es la fórmula de la que me he servido para calcular las cantidades siguientes. |
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Realizando estas observaciones, percibí claramente la pequeña vibración subsidiaria al final de cada oscilación proveniente del segundo término de la fórmula. Finalmente hice oscilar el péndulo sobre dos soportes de flexibilidad diferente. El primero de ellos es el soporte Repsold, aquel del que se dan arriba las medidas de flexión. El otro estaba hecho sosteniendo la cabeza del soporte de Repsold en una base gruesa por medio de tuercas de bronce que pasaban por tres agujeros para los tres pies. Estos agujeros son de forma cónica y las tuercas se adaptan perfectamente. He colocado en cada tuerca, entre la cabeza del soporte y la base, una arandela de plomo, de forma que, cortando las tuercas por debajo de la base, la unión resulta más sólida y solucionamos a la vez el nivel, comprimiendo las arandelas. La base, que tiene un grosor de 5 centímetros, ha sido cortada para hacer sitio al péndulo, y ha sido apretada con fuerza entre un muro de piedra y un gran pilar de ladrillos. Ha sido horadada con una pendiente donde podemos hacer entrar la rueda de la máquina Atwood para medir la flexión. He aquí los experimentos sobre la flexión de este soporte.
Resulta que para este aparejo S=0mm.0031, y que la diferencia
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de S para los dos soportes es 0mm.0309. Ahora encuentro segundos siderales, y l=1m; así concluimos He hecho oscilar el péndulo tres veces sobre el soporte menos sólido y una vez sobre el más sólido, para verificar la teoría. He observado diez pasos del péndulo por la vertical cada 5 minutos, sirviéndome del relé que he inventado para ello.
Así tenemos *Cuando tenemos una serie de intervalos consecutivos iguales, si n es el número de intervalos e i es el número de uno de ellos, tomando la media debemos dar a ese intervalo, el peso i n -i (i-1). |
Y dado que h1 : h2 = 101 : 44, nombramos Este valor debe ser corregido debido a la marcha del cronómetro y a la temperatura. El cronómetro se retrasa por día 0s.86, lo que supone una corrección de T2X+0.000020. La temperatura durante el tiempo en que el extremo pesado estaba arriba era de 12º,7 de media, y mientras que este extremo estaba abajo, era de 12º,9. Así para reducir a 13ºC, hay que aplicar una corrección de De donde concluimos que |
Así tenemos |
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Así, los tres experimentos sobre el soporte Repsold concluyen el valor de a 13ºC
De media T1 = 1.0063371 |
De media T2=1.0065104 Así hallamos
Comparando este valor con el que hemos obtenido de los resultados con el otro soporte hallamos una diferencia de .000198. La diferencia según el cálculo de los experimentos sobre la flexión es de .000191, lo que presenta una concordancia aceptable. |
Acepte, querido señor, la expresión de mis sentimientos devotos y agradecidos. C. S. Peirce |
1. No hemos localizado el texto original que utilizó Plantamour para la edición de esta litografía que se distribuyó con antelación a los asistentes al Congreso de la Asociación Internacional de Geodesia que tendría lugar en Stuttgart en septiembre de 1877. En la Houghton Library (MS 1061) se conserva un manuscrito con el título "Sur la flexion des pieds des pendules", que es un borrador de este informe. Este informe se reproducirá también en el volumen de actas del congreso (anexo I, pp. 172-187) y traducido por el propio Charles S. Peirce al inglés "On the Influence of the Flexibility of the Support on the Oscillation of a Pendulum", Report of the Superintendent of the U. S. Coast and Geodetic Survey, 1881 (Washington, Government Printing Office, 1883), 427-436.
2. Charles S. Peirce fue puesto a cargo de los experimentos sobre la gravedad con el péndulo por parte de su padre Benjamin, entonces superintendente del Coast Survey, en noviembre de 1872.
3. Se trata de Thomas Hardy, un conocido fabricante inglés de cronómetros de principios del siglo XIX, citado por el capitán Kater y por Charles S. Peirce en W4: 160, 515, 526 y W5: 262. El noddy de Hardy es un péndulo colocado sobre el soporte de otro péndulo de forma que oscile en un plano paralelo.
4. Se trata de Edwin Smith (1851-1912), astrónomo y geodesta norteamericano; trabajaba para el US Coast Survey. Pueden encontrarse referencias a sus publicaciones en los apéndices del Coast Survey Reports. En "On the flexure of Pendulum Supports", Coast Survey Report 1881, 524, es citado por C. S. Peirce como observador el 12 de marzo de 1877. También será citado por C. S. Peirce en "Determinations of Gravity at Allegheny, Ebensburg, and York, Pa., in 1879 and 1880", Coast Survey Report 1883, 473-87 (W4: 10 y 18).
Traducción de Albi Castilla (2017)
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Proyecto de investigación "La correspondencia del tercer viaje europeo de Charles S. Peirce (septiembre-noviembre 1877)"
Fecha del documento: 2 de mayo 2017
Última actualización: 15 de junio 2022