La manera como Kant y Renouvier se plantean el problema del infinito ilustra muy bien el procedimiento utilizado frecuentemente por los filósofos para inferir los hechos partiendo de consideraciones conceptuales. La verdadera novedad sería un hecho, y así también la constitución idealista de la experiencia; pero Kant y Renouvier deducen estos hechos de la imposibilidad puramente lógica de que un número infinito de condiciones pueda completarse. Al parecer se trata de una vía muy fácil de llegar a la verdad; pero si la lógica se mantiene firme puede resultar, además, una vía justa1, y esta posibilidad nos obliga a inspeccionar la situación con creciente cuidado. Poniendo manos a la obra, encontramos inmediatamente que en la clase de los seres infinitamente condicionados debemos distinguir las dos sub-clases siguientes:
1. La sub-clase de las cosas que pueden concebirse en reposo, como el espacio, el tiempo pasado, los seres existentes.
2. La sub-clase de cosas que pueden concebirse en crecimiento, como el movimiento, el cambio, la actividad.
Parece que no hay objeción válida para admitir que en la clase de reposo se encuentra la existencia real y una gran cantidad numérica que requiere el infinito para su descripción. Si, por ejemplo, consideramos las estrellas, y suponemos que son infinitas en número, sólo tenemos que suponer que a cada uno de los términos de la serie infinita 1, 2, 3, 4... n...., corresponde una estrella. Los números, al crecer indefinidamente, nunca excederían las estrellas que los aguardan. Cada número se encontraría con que una estrella lo ha estado esperando toda la eternidad para ser numerada; y así ad infinitum cada estrella que haya existido, haciendo pareja con cada número que haya de usarse. Así como no hay un "todo" para los números, tampoco tiene por qué haberlo para las estrellas. No se ve cómo la existencia de cada estrella podría obligar a toda la clase "estrella" a ser un número más bien que otro, o requerir que sea cualquier número determinado. Lo que aquí digo de las estrellas se aplica a las partes componentes del espacio y la materia, a las del tiempo pasado2.
En tanto tomamos estos hechos uno a uno y nos referimos a ellos distributivamente llamándolos "cualquiera" o "cada uno", su existencia en forma infinita no ofrece dificultades lógicas. Pero hay una tendencia psicológica a caer de la manera de hablar distributiva en la manera colectiva, lo cual produce una especie de vacilación y encandilamiento mental de donde surgen las dificultades dialécticas. "Si cada condición se encuentra allí —decimos— entonces todas están allí, pues no puede haber partes que no formen un todo". Correctamente entendida, la frase "todas están allí" significa solamente que "ninguna está ausente". Pero en boca de muchas personas introduce subrepticiamente la noción totalmente inadecuada de un total limitado.
Hay otras confusiones similares. Se puede preguntar con las palabras de Locke, ¿cómo una "medida creciente" puede alcanzar un "volumen en reposo"? La existencia del reposo alguna vez habrá de ser alcanzada por una serie creciente de números; debe ser algo concluido o finito en su determinación numérica. Pero por aquí se introduce nuevamente de contrabando la noción de límite. Lo que en los casos que estamos considerando se da como en reposo no es un volumen, sino cada estrella, átomo, fecha pasada, o lo que fuere; y llamarlos volumen es dar por supuesto lo que precisamente se discute. Pero probablemente la verdadera razón que nos lleva a objetar un infinito en reposo es la razón que indujo a Hegel a llamarlo "falso" infinito. Es que la vertiginosa persecución de cada vez más espacio, más tiempo y más subdivisión, parece infinitamente estúpida. ¿Qué necesidad hay, qué utilidad tiene, para qué tanto? No se trata de que cualquier cantidad de algo sea en absoluto demasiado grande para que exista, sino que algunas cantidades son demasiado grandes para que nuestra imaginación pretenda acariciarlas. Así caemos con una sensación de alivio en una u otra forma de la hipótesis de lo finito3.
Si de las formas estáticas del ser pasamos a las formas en crecimiento, nos encontramos confrontado por dificultades mucho más serias. La dialéctica de Kant y de Zenón es válida en todos los casos en que una sucesión de términos, infinitos por definición, se agota necesariamente al ser contados en sucesión, antes de que se pueda haber llegado al final. Esto ocurre en todo proceso de cambio, por muy pequeño que sea, y con todo suceso que concibamos como desenvolviéndose continuamente. Lo que es continuo debe ser divisible ad infinitum, y de división en división no se puede proceder por adiciones (o lo que Kant llama la sucesiva síntesis de unidades) y tocar un límite ulterior. Sin duda se puede definir lo que deba ser el límite, pero no se lo puede alcanzar por este proceso. La admisión de que Aquiles ocupe sucesivamente "todos" los puntos de una sola pulgada de espacio continuo, es tan inadmisible como la de que debería contar la serie de los números enteros 1, 2, 3, 4, etc., hasta el infinito y alcanzar el fin. En ese orden los términos no pueden ser enumerados; y es el orden lo que crea toda la dificultad. Una regresión al infinito como la dirección retrospectiva del tiempo, no ofrece tal contradicción pues no viene en ese orden. Comenzamos por su "fin" y se piensa que cada nota sucesiva que nuestra imaginación tiene que agregar, ad infinitum, ya ha sido cobrada, y no que hay que completar antes de que pueda alcanzarse el fin. Comenzando por el fin, no tenemos nada que esperar. Aquí el infinito es la variedad "en reposo". Es, en el retruécano de Kant, gegeben [dado] no aufgegeben [encargado]. En el otro caso, en que debe atravesarse un proceso continuo, por el contrario, está aufgegeben: constituye una tarea, no sólo para nuestra imaginación filosófica, sino para cualquier agente real que pudiera tratar de lograr físicamente su realización completa. Por lógica tal agente ha de encontrar siempre un sobrante, algo que siempre queda por cobrar, como el saldo vencido de una cuenta en la cual no podemos ponernos al día ni siquiera con sus intereses.
"Infinitum in actu pertransiri nequit" decían los escolásticos. Toda cantidad continua que debe atravesarse gradualmente se concibe como tal infinito. La manera más conveniente de evitar la contradicción parecería ser abandonar esta concepción y no tratar los procesos reales de cambio como algo continuo, sino como realizándose por pasos finitos, no infinitesimales, como las gotas sucesivas que llenan un tonel: las gotas caen enteras o no caen. Esta es la posición radicalmente pluralista, empirista o perceptualista, que caractericé al hablar de Renouvier (en la página 113). Tendremos que concluir adoptándola en principio nosotros mismos, calificándola de manera que se ajuste a la experiencia perceptual.
Entretanto una cierta escuela de críticos nos desafía diciendo que lo que en matemáticas se llama "el nuevo infinito" ha invalidado las viejas antinomias, y tratan de ingenuo a quien de alguna manera se siente inquietado por la noción de un infinito completo. Por muy ingenuo que yo sea en matemáticas, y a pesar de la sequedad de la materia, debo agregar una palabra de refutación de esas críticas, algunas de las cuales se convierten en mistificaciones al ser repetidas por novicios.
El "nuevo infinito" y el "continuo-número" son excrecencias de un intento general de realizar lo que ha sido llamado la "aritmetización" de toda cantidad ("aritmetización" procede de άριθμός, número). Hasta hace muy poco tiempo se ha supuesto que ciertos quanta (grados de intensidad u otras diferencias, cantidades de espacio) son datos inmediatos de sensibilidad perceptiva o "intuición"; pero los matemáticos filosóficos no han tenido éxito en hallar un equivalente conceptual en formas de colecciones de números creados por interpolación de unos entre otros indefinidamente. Podemos dividir una línea en el espacio, y dividir sus mitades y así siguiendo. Pero entre los cortes así hechos y numerados, hay lugar para infinitos otros creados al usar el número 3 como divisor, y para infinitos otros si se usa 5, 7, etc., hasta que se haya hecho todas las divisiones "racionales" posibles. Se muestra ahora que entre éstas todavía es posible, ad infinitum, la interpolación de cortes numerados irracionalmente, y que, con éstos, al final la línea queda "llena", y su continuidad totalmente traducida a estos cortes numerados, y que su número es infinito. "De la célebre fórmula según la cual la continuidad significa 'unidad en la multiplicidad', sólo subsiste la multiplicidad: la unidad desaparece"4 —como en verdad ocurre en todas las traducciones conceptuales— y Russell, desde el punto de vista matemático, trata la intuición original de la extensión de la línea, como una "masa de prejuicio dogmático" y Cantor la desprecia como una "especie de dogma religioso"5.
Hasta aquí lo que toca al continuo numérico. En lo que respecta al "nuevo infinito" diré que se trata sólo de una nueva definición del infinito. Si comparamos la serie numérica en crecimiento continuo, 1, 2, 3, 4, ....n,... en su totalidad, con cualquiera de sus partes componentes, como los números primos, pares o cuadrados, nos hallamos ante una paradoja. Ninguna de las partes, así llamadas, de la serie numérica, es igual al todo tomado colectivamente; y sin embargo ninguna de ellas es "similar" a la totalidad, en el sentido de que se puede establecer una relación biunívoca entre cada uno de sus elementos y cada elemento de la totalidad, de modo que en este caso la parte y el todo resultan pertenecer a lo que los lógicos llaman la misma "clase", desde el punto de vista numérico. Así, a pesar del hecho de que los números pares, primos y cuadrados son mucho más raros que los números en general y solamente forman una parte de los números überhaupt, parecen ser igualmente numerosos cuando se trata de contarlos. Se puede numerar los términos de cada una de estas series parciales usando los íntegros naturales en sucesión. Hay, por ejemplo, un primer primo, un segundo primo, etc., ad infinitum; y lo que aún suena más extrañamente, puesto que todo entero, par o impar, puede ser duplicado, parecería que los números pares así producidos no pueden ser por naturaleza menos numerosos que la serie de pares e impares que forma la serie completa de números naturales.
Estas paradójicas consecuencias resultan, como se advierte de inmediato, del hecho de que la infinitud de la serie numérica es de una variedad "creciente" (ver página 118). Hace mucho tiempo se las trató como una reductio ad absurdum de la noción de que tal serie variable indica el infinito en acto, o de que puede ser traducida siempre en una forma colectiva o permanente6. Pero los matemáticos contemporáneos han tomado al toro por los cuernos. En vez de tratar tales paradójicas propiedades de las series indefinidamente crecientes como reductiones ad absurdum, las han convertido en la definición propia de las clases infinitas. Ahora se llama clase infinita a aquellas cuyas partes son numéricamente similares a la clase misma. Si sus partes son numéricamente disimilares, es finita. Esta definición separa ahora el concepto de clase infinita del concepto de objetos infinitos.
Además, ciertos conceptos, llamados "números transfinitos" ahora son creados por definición. Por decreto pertenecen a la clase infinita; pero no se forman agregando uno a uno ad infinitum, sino que se los postula directamente como apareciendo después de cada uno y todos los números formados por tal adición7. Cantor da el nombre de "omega" al más bajo de todos los números transfinitos posibles. Sería, por ejemplo, el número del punto en que Aquiles alcanza la tortuga —si la alcanza— agotando todos los puntos intermedios sucesivamente. O sería el número de estrellas en caso de que nunca se pudiera acabar de contarlas. O el número de millas de distancia a que se tocan las líneas paralelas, si se tocan. En una palabra, es el "límite" de toda la clase de números que crecen de a uno y, como otros límites, resulta ser un puente conceptual útil para pasar de un orden conceptual a otro.
La primera clase de hechos a la que pasamos con su auxilio es el número del continuo numérico y continuo de puntos, descrito más arriba (página 120), engendrado por una subdivisión que se repite indefinidamente. La formación de las subdivisiones es un proceso infinitamente creciente; pero el número de subdivisiones que puede hacerse tiene por límite el número transfinito "omega" que se acaba de imaginar y definir. De esta manera una similitud en reposo se asimila a un similitud creciente; el proceso de pasaje al límite iguala prácticamente un número variable a uno fijo; así burlamos la ley de la división o adición indefinida, que anteriormente era la única manera en que se podía construir un infinito y alcanzar un infinito constante en un límite. Ahora se puede poner este número infinito en reemplazo de cualquier cantidad continua finita, por más pequeña que esta última pueda parecer perceptualmente.
Cuando hace un momento hablé de mistificación, en parte tenía presente la manera despreciativa en que algunos de los entusiastas del "nuevo infinito" tratan a quienes todavía se adhieren a la superstición de que "el todo es mayor que la parte". Como cualquier punto de una pulgada imaginaria puede concebirse igualado a un punto de un cuarto de pulgada o media pulgada, se considera esta "similitud" numérica de las diferentes cantidades, tomadas como puntos, como si significase que medias pulgadas, cuartos de pulgadas y pulgadas son cosas matemáticamente idénticas y que sus diferencias son hechos que científicamente podemos pasar por alto. Quizá interprete mal a los más recientes expositores del famoso "sofisma" de Zenón: pero lo que dicen me parece ser virtualmente equivalente a esto.
Bertrand Russel (a quien no acuso de mistificación porque no cabe duda de que trata de aclarar las cosas) trata el enigma de Aquiles como si la dificultad residiese solamente en ver cómo los caminos recorridos por los dos corredores (medidos después que la carrera ha sido corrida y suponiendo que no consiste más que en puntos de posición coincidente con puntos de una escala de tiempo) deberían tener la misma medida de tiempo si no fueran del mismo largo. Pero los dos caminos son de diferente largo, pues la tortuga tiene una ventaja inicial y de esta manera su camino es sólo una parte del camino de Aquiles. ¿Cómo, pues, si los puntos de tiempo han de ser el medio de medición, no va a llevar más tiempo recorrer camino más largo?
Para Bertrand Russell, si lo entiendo correctamente, el remedio consiste en advertir que se concibe las dos series de puntos como si estuvieran formadas por una cantidad infinitamente numerosa de puntos y que cuando se trata de conjuntos infinitos es falso decir que el todo es mayor que la parte. Por cada punto recorrido por la tortuga hay un punto recorrido por Aquiles, en el correspondiente punto de tiempo; y la exacta correspondencia, punto por punto, de cada una de las tres series de puntos con las otras dos, las hace similares e igualmente numerosas desde el punto de vista numérico. De este modo no existe la recurrente ventaja debida a la salida de la tortuga —ventaja que Aquiles no puede alcanzar—; que puede reducir indefinidamente, pero que no puede anular. Las series se equilibran al final. El último punto del camino de Aquiles, el último punto del camino de la tortuga y el último instante de tiempo en la carrera son términos que coinciden matemáticamente. Con esto, que para Bertrand Russell parece ser la manera de analizar la situación, se supone que desaparece el enigma8.
Me parece, sin embargo, que las afirmaciones de Russell esquivan la verdadera dificultad, que se refiere exclusivamente a la variedad "creciente" de infinito, y no a la variedad "en reposo", que es lo que Russell contempla al suponer que ya se ha corrido la carrera y piensa que el único problema que queda es el de igualar numéricamente los caminos. La verdadera dificultad puede llamarse casi física, porque acompaña al proceso de formación de los caminos. Además, no se necesitan dos caminos: el de cualquiera de los corredores, o aún el lapso de tiempo, implica una dificultad, que es la de alcanzar una meta cuando el camino se interpone y se reproduce constantemente un obstáculo que primero hay que salvar. Naturalmente que la misma cantidad puede producirse de varias maneras. Esta página que estoy escribiendo penosamente será impresa de un solo golpe. Dios, como cree el ortodoxo, creó el continuo espacial, con sus infinitas partes en él, por un instantáneo fiat. El tiempo pasado se presenta ahora en una perspectiva infinita, y puede concebirse que ha sido creado de esa manera, como Kant imaginaba, para nuestra visión retrospectiva solamente, y de golpe. "Omega" fue creada por un sólo decreto, un solo acto de definición en el espíritu del profesor Cantor. Pero quien recorra realmente un continuo no lo puede hacer por un proceso continuo, en sentido matemático. Corto o largo, cada punto debe ser ocupado en su debido orden de sucesión; y si los puntos son necesariamente infinitos, no se puede alcanzar su fin, porque en esta clase de proceso el "resto" es precisamente lo que no se puede "pasar por alto". En una palabra, el único método posible de ocupación de la serie de posiciones implicadas en la famosa carrera, es el de "enumeración"; y cuando Bertrand Russell resuelve el enigma diciendo que "la clave de todo el misterio está en la definición de todo y parte sin enumeración"9, me parece que con estas palabras abandona el problema deliberadamente10.
Después de esta desagradable polémica concluyo que el nuevo infinito no tiene por qué bloquear necesariamente el camino de la opinión empirista que alcanzamos provisoriamente en la página 99. Aunque no atañen a los hechos cuyas condiciones sean de la clase "en reposo", las críticas de Leibniz, Kant, Cauchy, Renouvier, Evellin y otros, se aplican legitímamente a todos los casos de un cambio o crecimiento que se supone continuo. Aquí las condiciones deben ser llenadas en serie, y si las series que forman fueran infinitas no sería posible alcanzar su límite, si la única manera de llegar a él fuera una "síntesis sucesiva". O aceptamos con resignación la contradicción lógica de estos casos; o debemos admitir que el límite se alcanza en estos casos sucesivos por unidades de aproximación finitas y perceptibles: gotas, brotes, pasos o como nos plazca llamarlas, de cambio, que cuando se presentan lo hacen en su integridad, o que no se presentan de ninguna manera. Tal parece ser la naturaleza de la experiencia concreta que cambia siempre por cantidades sensibles o queda inalterada. El carácter de infinito que encontramos en ella lo hemos introducido nosotros al concebir una infinita repetición del acto de subdividir cualquier cantidad dada. Los hechos no resisten el tratamiento conceptual subsiguiente; pero no tenemos por qué creer que esta concepción reproduce la operación por la cual fueron originalmente creados.
Así vemos que la antinomia del crecimiento matemáticamente continuo no es sino una más de las diferentes maneras en que nuestra transformación conceptual de la experiencia perceptual la hace menos comprensible que nunca. Puede muy bien ocurrir que un intelecto que no se detenga en sus conclusiones no alcance a comprender que el ser debe aumentar inmediatamente y en cantidades finitas; pero lo que nuestro intelecto no sólo no puede entender, sino que halla absurdo, es que el ser se identifica con la consumación de una interminable cadena de unidades (por ejemplo, "puntos"), ninguna de las cuales contiene la cantidad del ser (por ejemplo, "espacio") que se espera como resultado. La sustitución de la intuición por la "aritmetización" parece así, considerada como descripción de la realidad, un éxito solamente parcial. Mejor es aceptar, como dice Renouvier, los oscuros datos dados en la perpeción, que conceptos absurdos11.
Hasta aquí el problema del infinito y la intepretación del cambio continuo por la nueva definición del infinito. Vemos que la imagen de una realidad discreta y que cambia a pasos finitos en número, resulta tan inaceptable a nuestro entendimiento y afín a nuestra imaginación como antes. Así, después de estos áridos y estériles capítulos retomamos el tema principal de nuestra investigación precisamente donde lo dejamos. ¿Crece la realidad por repentinos incrementos de novedad o no? El contraste entre la continuidad y la discontinuidad ahora nos confronta de otra manera. La definición matemática de la cantidad continua que dice "aquella cantidad que se halla entre dos elementos o términos cualesquiera, de los cuales hay otra término" se opone directamente a la noción más empírica o perceptual de que cualquier cosa es continua cuando sus partes aparecen como vecinas próximas e inmediatas, sin que nada se interponga entre ellas. De ahora en adelante nuestra tarea consistirá en ocuparnos de la explicación perceptual; pero antes de abocarnos definitivamente a esta discusión sería mejor que nos desembarazáramos de otro problema clásico: el problema de la causalidad.
1. Nosotros mismos podemos concluir que el cambio completado en infinito número de paso es inadmisible. Esto no puede considerarse como un hecho inferido de consideraciones conceptuales. Se trata tan sólo de la conclusión de que una cierta hipótesis conceptual acerca del hecho del cambio no marcha satisfactoriamente. Queda así libre el campo para cualquiera otra hipótesis; y la que adoptemos será simplemente aquella que sugiera la apariencia de la experiencia perceptual.
2. El tiempo pasado puede ofrecer dificultades al estudiante, como las ha ofrecido a grandes hombres. Ha terminado el momento presente, se ha saldado y constituido una "cantidad". Pero es posible contar esta cantidad en ambas direcciones; y puede pensarse que en ambas arrojará el mismo resultado. Si, cuando se la contó hacia adelante vino a acabar en el presente, se nos dice que luego, al ser contada hacia atrás, debe llegar a un fin en el pasado. Por tanto debe haber tenido un comienzo y su cantidad deber ser finita. El sofisma es burdo, y equivale a decir qeu lo que tiene un término debe tener dos. El "fin" del recuento hacia adelante es el "principio" del recuento hacia atrás, y es el único comienzo lógicamente implicado. El fin de una serie no debe decidir de ninguna manera si tiene o no comienzo; y esto se aplica tanto a cursos temporales como a la abstracta regresión que forman los números negativos.
3. El lector advertirá con qué énfasis insisto sobre el punto de vista distributivo en toda esta discusión. La concepción distributivaa es idéntica a la concepción pluralista, como la concepción colectiva es idéntica a la monista. A medida que este libro avance creo que percibiremos con claridad creciente que la existencia por partes es independiente de la existencia total y que por lo menos algunos hechos sólo existen distributivamente o en forma de un conjunto de partes que, aunque fueran infinitas en número, no necesitan en ningún sentido inteligible experimentarse a sí mismas o ser experimentadas por alguna otra cosa, como partes de un todo.
4. H. Poincaré: La Science et l'Hypothèse [Traducción española de Pedro M. González Quijano: La ciencia y la hipótesis, Madrid, J. Ruiz, 1907], p. 30
5. B. Russell: The Philosophy of Mathematics [Filosofía de las matemáticas], I, 260, 287.
6. El hecho de que al ser considerados distributivamente, o apareados uno a uno, los términos de una serie infinitamente creciente deberían corresponder a los de otra serie (o "similar" a ellos) es completamente compatible con el hecho de que ambas series sean conjuntos de cantidades muy desiguales. Sólo se necesita hacer los pasos de diferencia, o distancias, entre los términos más grrandes en una serie que en la otra, para obtener conjuntos numéricamente similares, con un contenido de magnitudes sumamente desiguales. Además, en el momento en que cualquiera de las series se detuviese, la "similitud" dejaría de existir.
7. La clase de todos los números "anterior al primer transfinito" es una concepción definidamente limitada, supuesto que tomamos los números por particulares, porque entonces cualquiera y todos ellos por definición tendrán que venir antes del número transfinito, aún cuando no constituyan un todo ni haya uno que sea el último de ellos, y aunque el transfinito no tenga predecesor inmediato. El transfinito, en una palabra, no es una concepción ordinal, por lo menos no continúa el orden de los números enteros.
8. Las propias exposiciones del acertijo y de su solució, de Bertrand Russell, son demasiado técnicas para seguirlas punto por punto en libro como éste. Así como él encuentra necesario parafrasear el acertijo, yo encuentro conveniente parafrasearlo a él, esperando sinceramente no cometer ninguna injusticia en ello.
9. Philosophy of Mathematics, I, 361. Como contraparte de la paradoja de Aquiles, Russell propone una paradoja de Tristam Shandy. Puesto que, de acuerdo a Sterne, Tristam Shandy tardó dos años en escribir la historia de los dos primeros días de su vida, el sentido común concluiría que a ese paso nunca hubier podido escribirse su vida. Pero Russell prueba lo contrario, pues como la serie de los días y de los años no tiene fin, la historia del enésimo día se escribirá en el enésimo año, la historia de cualquier día determinado se escribirá alguna vez y de este modo nada quedará por escribir. Pero la prueba de Russell no puede aplicarse al mundo real sin la hipótesis física que él expresa diciendo: "Si Tristam Shandy vive siempre, y no se aburre de su tarea". Es necesario forjar semejante hipótesis absurda en todos los casos reales de un cambio continuo: el agente del cambio debe vivir siempre, en el sentido de sobrevivir un infinito conjunto de puntos de tiempo, y "no aburrirse" de esta imposible tarea.
10. Debido a mi casi completa ceguera para las matemáticas y la lógica, siento considerable timidez al diferir de la opinión de espíritues tan superiores; pero, ¿qué puede hacerse sino seguir la propia y débil luz? La literatura sobre el nuevo infinito es tan técnica que es imposible citar detalles es una obra no matemática como es ésta. Los estudiantes interesados deberían consultar los índices de B. Russell: Philosophy of Mathematics; L. Couturat: Infini Mathématique, o sus Principes of Mathématiques. Se encontrará una exposición aún más rigurosa en E. V. Huntington: The Continuum as a Type of Order [El continuo como tipo de orden] en los Annals of Mathematics [Anales de matemáticas], vols. VI y VII, Harvard University. Véase también el artículo de C. S. Peirce en Monist, II, 537, Proceedings of the London Mathematical Society [Actas de la sociedad matemática de Londres], vol. XXXV. Para discusiones más populares, véase J. Royce: The World and the Individual [El mundo y el individuo], vol. I, ensayo suplementario; Keyser: Journal of Philosophy, etc., I, 29 y Hibbert Journal [Revista de Hibbert], VII, 380-390; S. Waterton en Aristotelian Society Proceedings [Actas de la sociedad aristotélica], 1910; Leignton: Philosophical Review, XIII, 497; y, finalmente, los índices de los tres recientes libritos de H. Poincaré: La Science et l'Hypothèse, París; El valor de la ciencia (traducción inglesa autorizada de G. B. Halstead), [Traducción española de E. González Llana, Madrid, Librería Gutenberg, 1906], Nueva York, 1907; Science et Méthode [Traducción española de E. Cazorla: La ciencia y el método, Madrid, J. Ruiz, 1910], París, 1908. El más animado de los ataques breves que conozca, contra infinitos completados por síntesis sucesivas, es el de G. M. Fullerton en su System of Metaphysics.
11. El continuo de puntos ilustra espléndidamente mi queja de que el método intelectualista transforma el fluir en algo estático y discreto. Los brotes o pasos del proceso que la percepción acepta como datos primarios del ser corresponden lógicamente a los "infinitesimales" (cantidades mínimas de noción, cambio o lo que fuere) de lo que la matemática reciente supone haberse librado. Así Russell se encuentra obligado, como Zenón, a tratar el movimiento como irrealidad: "Weierstrass", dice Russell, "al desterrar estrictamente todos los infinitesimales ha mostrado al fin que vivimos en un mundo sin cambio, y que la flecha, en cada momento de su vuelo, está verdaderamente es reposo" (op. cit. p. 347). "Debemos rechazar enteramente la noción de un estado de movimiento", dice en alguna otra parte; "el movimiento consiste meramente en la ocupación de diferentes lugares en diferentes tiempos. [...] No hay transición de lugar a lugar, no hay momento o posición consecutivos, no existe la velocidad salvo en el sentido de un número real que es el límite de un cierto conjunto de cocientes" (op. cit. p. 473). El llamdo "continuo" matemático se transforma de este modo en un discontinuo absoluto, en cualquier sentido físico o experimental. Los extremos se tocan; y aunque Russell y Zenón están de acuerdo en negar el movimiento perceptual, para el primero lo reemplaza una pura unidad, mientras que, para el segundo, una pura multiplicidad. Es probable que la negación del cambio, etc., formulada por Russell, se refiera solamente al mundo matemático. Sería injusto acusarlo de escribit metafísica, aunque no da ninguna advertencia de que no sea así.
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Fecha del documento: 8 de mayo 2008
Ultima actualización: 8 de mayo 2008