<HTML>
<HEAD>
<TITLE>William James: "Problemas de la filosofía" (1911). Capítulo XI </TITLE>
<META http-equiv=Content-Type content="text/html; charset=iso-8859-1">
<STYLE type=text/css>

BODY {BACKGROUND-COLOR: white}
H2 {TEXT-ALIGN: center}
H3 {TEXT-ALIGN: center}
H4 {TEXT-ALIGN: justify}
BLOCKQUOTE {FONT-SIZE: small; TEXT-ALIGN: justify}
P {TEXT-INDENT: 2em; TEXT-ALIGN: justify}
P.traductor {TEXT-ALIGN: right}

</STYLE>

<META content="MSHTML 6.00.2800.1400" name=GENERATOR>
</HEAD>
<BODY>



</P>
<H2><CENTER>
    <em>Problemas de la filosof&iacute;a</em> 
  </CENTER>
</H2>

<H3> 
  <CENTER>
    William James (1911) 
  </CENTER></h3>
  
<h3> Traducci&oacute;n castellana de Juan Adolfo Vázquez (1944) </h3>
<br><br>
<p> 
  <center>
    <strong>CAPÍTULO XI. LA NOVEDAD Y EL INFINITO. LA CONCEPCI&Oacute;N PERCEPTUAL</strong><BR>
    <BR> 
  </center>
<p>La manera como Kant y Renouvier se plantean el problema del infinito ilustra 
  muy bien el procedimiento utilizado frecuentemente por los fil&oacute;sofos 
  para inferir los hechos partiendo de consideraciones conceptuales. La verdadera 
  novedad ser&iacute;a un hecho, y as&iacute; tambi&eacute;n la constituci&oacute;n 
  idealista de la experiencia; pero Kant y Renouvier deducen estos hechos de la 
  imposibilidad puramente l&oacute;gica de que un n&uacute;mero infinito de condiciones 
  pueda completarse. Al parecer se trata de una v&iacute;a muy f&aacute;cil de 
  llegar a la verdad; pero si la l&oacute;gica se mantiene firme puede resultar, 
  adem&aacute;s, una v&iacute;a justa<a href="#nota1"><sup>1</sup></a>, y esta 
  posibilidad nos obliga a inspeccionar la situaci&oacute;n con creciente cuidado. 
  Poniendo manos a la obra, encontramos inmediatamente que en la clase de los 
  seres infinitamente condicionados debemos distinguir las dos sub-clases siguientes:
<p>1. La sub-clase de las cosas que pueden concebirse en reposo, como el espacio, 
  el tiempo pasado, los seres existentes.
<p>2. La sub-clase de cosas que pueden concebirse en crecimiento, como el movimiento, 
  el cambio, la actividad.
<p>Parece que no hay objeci&oacute;n v&aacute;lida para admitir que en la clase 
  de reposo se encuentra la existencia real y una gran cantidad num&eacute;rica 
  que requiere el infinito para su descripci&oacute;n. Si, por ejemplo, consideramos 
  las estrellas, y suponemos que son infinitas en n&uacute;mero, s&oacute;lo tenemos 
  que suponer que a cada uno de los t&eacute;rminos de la serie infinita 1, 2, 
  3, 4... n...., corresponde una estrella. Los n&uacute;meros, al crecer indefinidamente, 
  nunca exceder&iacute;an las estrellas que los aguardan. Cada n&uacute;mero se 
  encontrar&iacute;a con que una estrella lo ha estado esperando toda la eternidad 
  para ser numerada; y as&iacute; <em>ad infinitum</em> cada estrella que haya 
  existido, haciendo pareja con cada n&uacute;mero que haya de usarse. As&iacute; 
  como no hay un &quot;todo&quot; para los n&uacute;meros, tampoco tiene por qu&eacute; 
  haberlo para las estrellas. No se ve c&oacute;mo la existencia de cada estrella 
  podr&iacute;a obligar a toda la clase &quot;estrella&quot; a ser un n&uacute;mero 
  m&aacute;s bien que otro, o requerir que sea cualquier n&uacute;mero determinado. 
  Lo que aqu&iacute; digo de las estrellas se aplica a las partes componentes 
  del espacio y la materia, a las del tiempo pasado<a href="#nota2"><sup>2</sup></a>. 
<p>En tanto tomamos estos hechos uno a uno y nos referimos a ellos distributivamente 
  llam&aacute;ndolos &quot;cualquiera&quot; o &quot;cada uno&quot;, su existencia 
  en forma infinita no ofrece dificultades l&oacute;gicas. Pero hay una tendencia 
  psicol&oacute;gica a caer de la manera de hablar distributiva en la manera colectiva, 
  lo cual produce una especie de vacilaci&oacute;n y encandilamiento mental de 
  donde surgen las dificultades dial&eacute;cticas. &quot;Si cada condici&oacute;n 
  se encuentra all&iacute; &#8212;decimos&#8212; entonces todas est&aacute;n all&iacute;, 
  pues no puede haber partes que no formen un todo&quot;. Correctamente entendida, 
  la frase &quot;todas est&aacute;n all&iacute;&quot; significa solamente que 
  &quot;ninguna est&aacute; ausente&quot;. Pero en boca de muchas personas introduce 
  subrepticiamente la noci&oacute;n totalmente inadecuada de un total limitado. 
<p>Hay otras confusiones similares. Se puede preguntar con las palabras de Locke, 
  &iquest;c&oacute;mo una &quot;medida creciente&quot; puede alcanzar un &quot;volumen 
  en reposo&quot;? La existencia del reposo alguna vez habr&aacute; de ser alcanzada 
  por una serie creciente de n&uacute;meros; debe ser algo concluido o finito 
  en su determinaci&oacute;n num&eacute;rica. Pero por aqu&iacute; se introduce 
  nuevamente de contrabando la noci&oacute;n de l&iacute;mite. Lo que en los casos 
  que estamos considerando se da como en reposo no es un volumen, sino <em>cada</em> 
  estrella, &aacute;tomo, fecha pasada, o lo que fuere; y llamarlos volumen es 
  dar por supuesto lo que precisamente se discute. Pero probablemente la verdadera 
  raz&oacute;n que nos lleva a objetar un infinito en reposo es la raz&oacute;n 
  que indujo a Hegel a llamarlo &quot;falso&quot; infinito. Es que la vertiginosa 
  persecuci&oacute;n de cada vez m&aacute;s espacio, m&aacute;s tiempo y m&aacute;s 
  subdivisi&oacute;n, parece infinitamente est&uacute;pida. &iquest;Qu&eacute; 
  necesidad hay, qu&eacute; utilidad tiene, para qu&eacute; tanto? No se trata 
  de que cualquier cantidad de algo sea en absoluto demasiado grande para que 
  exista, sino que algunas cantidades son demasiado grandes para que nuestra imaginaci&oacute;n 
  pretenda acariciarlas. As&iacute; caemos con una sensaci&oacute;n de alivio 
  en una u otra forma de la hip&oacute;tesis de lo finito<a href="#nota3"><sup>3</sup></a>. 
<p>Si de las formas est&aacute;ticas del ser pasamos a las formas en crecimiento, 
  nos encontramos confrontado por dificultades mucho m&aacute;s serias. La dial&eacute;ctica 
  de Kant y de Zen&oacute;n es v&aacute;lida en todos los casos en que una sucesi&oacute;n 
  de t&eacute;rminos, infinitos por definici&oacute;n, se agota necesariamente 
  al ser contados en sucesi&oacute;n, antes de que se pueda haber llegado al final. 
  Esto ocurre en todo proceso de cambio, por muy peque&ntilde;o que sea, y con 
  todo suceso que concibamos como desenvolvi&eacute;ndose continuamente. Lo que 
  es continuo debe ser divisible <em>ad infinitum</em>, y de divisi&oacute;n en 
  divisi&oacute;n no se puede proceder por adiciones (o lo que Kant llama la sucesiva 
  s&iacute;ntesis de unidades) y tocar un l&iacute;mite ulterior. Sin duda se 
  puede definir lo que deba ser el l&iacute;mite, pero no se lo puede alcanzar 
  por este proceso. La admisi&oacute;n de que Aquiles ocupe sucesivamente &quot;todos&quot; 
  los puntos de una sola pulgada de espacio continuo, es tan inadmisible como 
  la de que deber&iacute;a contar la serie de los n&uacute;meros enteros 1, 2, 
  3, 4, etc., hasta el infinito y alcanzar el fin. En ese orden los t&eacute;rminos 
  no pueden ser enumerados; y es el orden lo que crea toda la dificultad. Una 
  regresi&oacute;n al infinito como la direcci&oacute;n retrospectiva del tiempo, 
  no ofrece tal contradicci&oacute;n pues no viene en ese orden. Comenzamos por 
  su &quot;fin&quot; y se piensa que cada nota sucesiva que nuestra imaginaci&oacute;n 
  tiene que agregar, <em>ad infinitum</em>, ya ha sido cobrada, y no que hay que 
  completar antes de que pueda alcanzarse el fin. Comenzando por el fin, no tenemos 
  nada que esperar. Aqu&iacute; el infinito es la variedad &quot;en reposo&quot;. 
  Es, en el retru&eacute;cano de Kant, <em>gegeben</em> [dado] no <em>aufgegeben</em> 
  [encargado]. En el otro caso, en que debe atravesarse un proceso continuo, por 
  el contrario, est&aacute; <em>aufgegeben</em>: constituye una tarea, no s&oacute;lo 
  para nuestra imaginaci&oacute;n filos&oacute;fica, sino para cualquier agente 
  real que pudiera tratar de lograr f&iacute;sicamente su realizaci&oacute;n completa. 
  Por l&oacute;gica tal agente ha de encontrar siempre un sobrante, algo que siempre 
  queda por cobrar, como el saldo vencido de una cuenta en la cual no podemos 
  ponernos al d&iacute;a ni siquiera con sus intereses.
<p>&quot;<em>Infinitum in actu pertransiri nequit</em>&quot; dec&iacute;an los 
  escol&aacute;sticos. Toda cantidad continua que debe atravesarse gradualmente 
  se concibe como tal infinito. La manera m&aacute;s conveniente de evitar la 
  contradicci&oacute;n parecer&iacute;a ser abandonar esta concepci&oacute;n y 
  no tratar los procesos reales de cambio como algo continuo, sino como realiz&aacute;ndose 
  por pasos finitos, no infinitesimales, como las gotas sucesivas que llenan un 
  tonel: las gotas caen enteras o no caen. Esta es la posici&oacute;n radicalmente 
  pluralista, empirista o perceptualista, que caracteric&eacute; al hablar de 
  Renouvier (en la p&aacute;gina 113). Tendremos que concluir adopt&aacute;ndola 
  en principio nosotros mismos, calific&aacute;ndola de manera que se ajuste a 
  la experiencia perceptual.
<p>Entretanto una cierta escuela de cr&iacute;ticos nos desaf&iacute;a diciendo 
  que lo que en matem&aacute;ticas se llama &quot;el nuevo infinito&quot; ha invalidado 
  las viejas antinomias, y tratan de ingenuo a quien de alguna manera se siente 
  inquietado por la noci&oacute;n de un infinito completo. Por muy ingenuo que 
  yo sea en matem&aacute;ticas, y a pesar de la sequedad de la materia, debo agregar 
  una palabra de refutaci&oacute;n de esas cr&iacute;ticas, algunas de las cuales 
  se convierten en mistificaciones al ser repetidas por novicios.
<p>El &quot;nuevo infinito&quot; y el &quot;continuo-n&uacute;mero&quot; son excrecencias 
  de un intento general de realizar lo que ha sido llamado la &quot;aritmetizaci&oacute;n&quot; 
  de toda cantidad (&quot;aritmetizaci&oacute;n&quot; procede de άριθμός, n&uacute;mero). 
  Hasta hace muy poco tiempo se ha supuesto que ciertos <em>quanta</em> (grados 
  de intensidad u otras diferencias, cantidades de espacio) son datos inmediatos 
  de sensibilidad perceptiva o &quot;intuici&oacute;n&quot;; pero los matem&aacute;ticos 
  filos&oacute;ficos no han tenido &eacute;xito en hallar un equivalente conceptual 
  en formas de colecciones de n&uacute;meros creados por interpolaci&oacute;n 
  de unos entre otros indefinidamente. Podemos dividir una l&iacute;nea en el 
  espacio, y dividir sus mitades y as&iacute; siguiendo. Pero entre los cortes 
  as&iacute; hechos y numerados, hay lugar para infinitos otros creados al usar 
  el n&uacute;mero 3 como divisor, y para infinitos otros si se usa 5, 7, etc., 
  hasta que se haya hecho todas las divisiones &quot;racionales&quot; posibles. 
  Se muestra ahora que entre &eacute;stas todav&iacute;a es posible, <em>ad infinitum</em>, 
  la interpolaci&oacute;n de cortes numerados irracionalmente, y que, con &eacute;stos, 
  al final la l&iacute;nea queda &quot;llena&quot;, y su continuidad totalmente 
  traducida a estos cortes numerados, y que su n&uacute;mero es infinito. &quot;De 
  la c&eacute;lebre f&oacute;rmula seg&uacute;n la cual la continuidad significa 
  'unidad en la multiplicidad', s&oacute;lo subsiste la multiplicidad: la unidad 
  desaparece&quot;<a href="#nota4"><sup>4</sup></a> &#8212;como en verdad ocurre 
  en todas las traducciones conceptuales&#8212; y Russell, desde el punto de vista 
  matem&aacute;tico, trata la intuici&oacute;n original de la extensi&oacute;n 
  de la l&iacute;nea, como una &quot;masa de prejuicio dogm&aacute;tico&quot; 
  y Cantor la desprecia como una &quot;especie de dogma religioso&quot;<a href="#nota5"><sup>5</sup></a>. 
<p>Hasta aqu&iacute; lo que toca al continuo num&eacute;rico. En lo que respecta 
  al &quot;nuevo infinito&quot; dir&eacute; que se trata s&oacute;lo de una nueva 
  definici&oacute;n del infinito. Si comparamos la serie num&eacute;rica en crecimiento 
  continuo, 1, 2, 3, 4, ....n,... en su totalidad, con cualquiera de sus partes 
  componentes, como los n&uacute;meros primos, pares o cuadrados, nos hallamos 
  ante una paradoja. Ninguna de las partes, as&iacute; llamadas, de la serie num&eacute;rica, 
  es igual al todo tomado colectivamente; y sin embargo ninguna de ellas es &quot;similar&quot; 
  a la totalidad, en el sentido de que se puede establecer una relaci&oacute;n 
  biun&iacute;voca entre cada uno de sus elementos y cada elemento de la totalidad, 
  de modo que en este caso la parte y el todo resultan pertenecer a lo que los 
  l&oacute;gicos llaman la misma &quot;clase&quot;, desde el punto de vista num&eacute;rico. 
  As&iacute;, a pesar del hecho de que los n&uacute;meros pares, primos y cuadrados 
  son mucho m&aacute;s raros que los n&uacute;meros en general y solamente forman 
  una parte de los n&uacute;meros <em>&uuml;berhaupt</em>, parecen ser igualmente 
  numerosos cuando se trata de contarlos. Se puede numerar los t&eacute;rminos 
  de cada una de estas series parciales usando los &iacute;ntegros naturales en 
  sucesi&oacute;n. Hay, por ejemplo, un primer primo, un segundo primo, etc., 
  <em>ad infinitum</em>; y lo que a&uacute;n suena m&aacute;s extra&ntilde;amente, 
  puesto que todo entero, par o impar, puede ser duplicado, parecer&iacute;a que 
  los n&uacute;meros pares as&iacute; producidos no pueden ser por naturaleza 
  menos numerosos que la serie de pares e impares que forma la serie completa 
  de n&uacute;meros naturales.
<p>Estas parad&oacute;jicas consecuencias resultan, como se advierte de inmediato, 
  del hecho de que la infinitud de la serie num&eacute;rica es de una variedad 
  &quot;creciente&quot; (ver p&aacute;gina 118). Hace mucho tiempo se las trat&oacute; 
  como una <em>reductio ad absurdum</em> de la noci&oacute;n de que tal serie 
  variable indica el infinito en acto, o de que puede ser traducida siempre en 
  una forma colectiva o permanente<a href="#nota6"><sup>6</sup></a>. Pero los 
  matem&aacute;ticos contempor&aacute;neos han tomado al toro por los cuernos. 
  En vez de tratar tales parad&oacute;jicas propiedades de las series indefinidamente 
  crecientes como reductiones <em>ad absurdum</em>, las han convertido en la definici&oacute;n 
  propia de las clases infinitas. Ahora se llama clase infinita a aquellas cuyas 
  partes son num&eacute;ricamente similares a la clase misma. Si sus partes son 
  num&eacute;ricamente disimilares, es finita. Esta definici&oacute;n separa ahora 
  el concepto de clase infinita del concepto de objetos infinitos.
<p>Adem&aacute;s, ciertos conceptos, llamados &quot;n&uacute;meros transfinitos&quot; 
  ahora son creados por definici&oacute;n. Por decreto pertenecen a la clase infinita; 
  pero no se forman agregando uno a uno <em>ad infinitum</em>, sino que se los 
  postula directamente como apareciendo despu&eacute;s de cada uno y todos los 
  n&uacute;meros formados por tal adici&oacute;n<a href="#nota7"><sup>7</sup></a>. 
  Cantor da el nombre de &quot;omega&quot; al m&aacute;s bajo de todos los n&uacute;meros 
  transfinitos posibles. Ser&iacute;a, por ejemplo, el n&uacute;mero del punto 
  en que Aquiles alcanza la tortuga &#8212;si la alcanza&#8212; agotando todos 
  los puntos intermedios sucesivamente. O ser&iacute;a el n&uacute;mero de estrellas 
  en caso de que nunca se pudiera acabar de contarlas. O el n&uacute;mero de millas 
  de distancia a que se tocan las l&iacute;neas paralelas, si se tocan. En una 
  palabra, es el &quot;l&iacute;mite&quot; de toda la clase de n&uacute;meros 
  que crecen de a uno y, como otros l&iacute;mites, resulta ser un puente conceptual 
  &uacute;til para pasar de un orden conceptual a otro.
<p>La primera clase de hechos a la que pasamos con su auxilio es el n&uacute;mero 
  del continuo num&eacute;rico y continuo de puntos, descrito m&aacute;s arriba 
  (p&aacute;gina 120), engendrado por una subdivisi&oacute;n que se repite indefinidamente. 
  La formaci&oacute;n de las subdivisiones es un proceso infinitamente creciente; 
  pero el n&uacute;mero de subdivisiones que puede hacerse tiene por l&iacute;mite 
  el n&uacute;mero transfinito &quot;omega&quot; que se acaba de imaginar y definir. 
  De esta manera una similitud en reposo se asimila a un similitud creciente; 
  el proceso de pasaje al l&iacute;mite iguala pr&aacute;cticamente un n&uacute;mero 
  variable a uno fijo; as&iacute; burlamos la ley de la divisi&oacute;n o adici&oacute;n 
  indefinida, que anteriormente era la &uacute;nica manera en que se pod&iacute;a 
  construir un infinito y alcanzar un infinito constante en un l&iacute;mite. 
  Ahora se puede poner este n&uacute;mero infinito en reemplazo de cualquier cantidad 
  continua finita, por m&aacute;s peque&ntilde;a que esta &uacute;ltima pueda 
  parecer perceptualmente.
<p>Cuando hace un momento habl&eacute; de mistificaci&oacute;n, en parte ten&iacute;a 
  presente la manera despreciativa en que algunos de los entusiastas del &quot;nuevo 
  infinito&quot; tratan a quienes todav&iacute;a se adhieren a la superstici&oacute;n 
  de que &quot;el todo es mayor que la parte&quot;. Como cualquier punto de una 
  pulgada imaginaria puede concebirse igualado a un punto de un cuarto de pulgada 
  o media pulgada, se considera esta &quot;similitud&quot; num&eacute;rica de 
  las diferentes cantidades, tomadas como puntos, como si significase que medias 
  pulgadas, cuartos de pulgadas y pulgadas son cosas matem&aacute;ticamente id&eacute;nticas 
  y que sus diferencias son hechos que cient&iacute;ficamente podemos pasar por 
  alto. Quiz&aacute; interprete mal a los m&aacute;s recientes expositores del 
  famoso &quot;sofisma&quot; de Zen&oacute;n: pero lo que dicen me parece ser 
  virtualmente equivalente a esto.
<p>Bertrand Russel (a quien no acuso de mistificaci&oacute;n porque no cabe duda 
  de que trata de aclarar las cosas) trata el enigma de Aquiles como si la dificultad 
  residiese solamente en ver c&oacute;mo los caminos recorridos por los dos corredores 
  (medidos despu&eacute;s que la carrera ha sido corrida y suponiendo que no consiste 
  m&aacute;s que en puntos de posici&oacute;n coincidente con puntos de una escala 
  de tiempo) deber&iacute;an tener la misma medida de tiempo si no fueran del 
  mismo largo. Pero los dos caminos son de diferente largo, pues la tortuga tiene 
  una ventaja inicial y de esta manera su camino es s&oacute;lo una parte del 
  camino de Aquiles. &iquest;C&oacute;mo, pues, si los puntos de tiempo han de 
  ser el medio de medici&oacute;n, no va a llevar m&aacute;s tiempo recorrer camino 
  m&aacute;s largo?
<p>Para Bertrand Russell, si lo entiendo correctamente, el remedio consiste en 
  advertir que se concibe las dos series de puntos como si estuvieran formadas 
  por una cantidad infinitamente numerosa de puntos y que cuando se trata de conjuntos 
  infinitos es falso decir que el todo es mayor que la parte. Por cada punto recorrido 
  por la tortuga hay un punto recorrido por Aquiles, en el correspondiente punto 
  de tiempo; y la exacta correspondencia, punto por punto, de cada una de las 
  tres series de puntos con las otras dos, las hace similares e igualmente numerosas 
  desde el punto de vista num&eacute;rico. De este modo no existe la recurrente 
  ventaja debida a la salida de la tortuga &#8212;ventaja que Aquiles no puede 
  alcanzar&#8212;; que puede reducir indefinidamente, pero que no puede anular. 
  Las series se equilibran al final. El &uacute;ltimo punto del camino de Aquiles, 
  el &uacute;ltimo punto del camino de la tortuga y el &uacute;ltimo instante 
  de tiempo en la carrera son t&eacute;rminos que coinciden matem&aacute;ticamente. 
  Con esto, que para Bertrand Russell parece ser la manera de analizar la situaci&oacute;n, 
  se supone que desaparece el enigma<a href="#nota8"><sup>8</sup></a>.
<p>Me parece, sin embargo, que las afirmaciones de Russell esquivan la verdadera 
  dificultad, que se refiere exclusivamente a la variedad &quot;creciente&quot; 
  de infinito, y no a la variedad &quot;en reposo&quot;, que es lo que Russell 
  contempla al suponer que ya se ha corrido la carrera y piensa que el &uacute;nico 
  problema que queda es el de igualar num&eacute;ricamente los caminos. La verdadera 
  dificultad puede llamarse casi f&iacute;sica, porque acompa&ntilde;a al proceso 
  de formaci&oacute;n de los caminos. Adem&aacute;s, no se necesitan dos caminos: 
  el de cualquiera de los corredores, o a&uacute;n el lapso de tiempo, implica 
  una dificultad, que es la de alcanzar una meta cuando el camino se interpone 
  y se reproduce constantemente un obst&aacute;culo que primero hay que salvar. 
  Naturalmente que la misma cantidad puede producirse de varias maneras. Esta 
  p&aacute;gina que estoy escribiendo penosamente ser&aacute; impresa de un solo 
  golpe. Dios, como cree el ortodoxo, cre&oacute; el continuo espacial, con sus 
  infinitas partes en &eacute;l, por un instant&aacute;neo <em>fiat</em>. El tiempo 
  pasado se presenta ahora en una perspectiva infinita, y puede concebirse que 
  ha sido creado de esa manera, como Kant imaginaba, para nuestra visi&oacute;n 
  retrospectiva solamente, y de golpe. &quot;Omega&quot; fue creada por un s&oacute;lo 
  decreto, un solo acto de definici&oacute;n en el esp&iacute;ritu del profesor 
  Cantor. Pero quien recorra realmente un continuo no lo puede hacer por un proceso 
  continuo, en sentido matem&aacute;tico. Corto o largo, cada punto debe ser ocupado 
  en su debido orden de sucesi&oacute;n; y si los puntos son necesariamente infinitos, 
  no se puede alcanzar su fin, porque en esta clase de proceso el &quot;resto&quot; 
  es precisamente lo que no se puede &quot;pasar por alto&quot;. En una palabra, 
  el &uacute;nico m&eacute;todo posible de ocupaci&oacute;n de la serie de posiciones 
  implicadas en la famosa carrera, es el de &quot;enumeraci&oacute;n&quot;; y 
  cuando Bertrand Russell resuelve el enigma diciendo que &quot;la clave de todo 
  el misterio est&aacute; en la definici&oacute;n de todo y parte sin enumeraci&oacute;n&quot;<a href="#nota9"><sup>9</sup></a>, 
  me parece que con estas palabras abandona el problema deliberadamente<a href="#nota10"><sup>10</sup></a>. 
<p>Despu&eacute;s de esta desagradable pol&eacute;mica concluyo que el nuevo infinito 
  no tiene por qu&eacute; bloquear necesariamente el camino de la opini&oacute;n 
  empirista que alcanzamos provisoriamente en la p&aacute;gina 99. Aunque no ata&ntilde;en 
  a los hechos cuyas condiciones sean de la clase &quot;en reposo&quot;, las cr&iacute;ticas 
  de Leibniz, Kant, Cauchy, Renouvier, Evellin y otros, se aplican legit&iacute;mamente 
  a todos los casos de un cambio o crecimiento que se supone continuo. Aqu&iacute; 
  las condiciones deben ser llenadas en serie, y si las series que forman fueran 
  infinitas no ser&iacute;a posible alcanzar su l&iacute;mite, si la &uacute;nica 
  manera de llegar a &eacute;l fuera una &quot;s&iacute;ntesis sucesiva&quot;. 
  O aceptamos con resignaci&oacute;n la contradicci&oacute;n l&oacute;gica de 
  estos casos; o debemos admitir que el l&iacute;mite se alcanza en estos casos 
  sucesivos por unidades de aproximaci&oacute;n finitas y perceptibles: gotas, 
  brotes, pasos o como nos plazca llamarlas, de cambio, que cuando se presentan 
  lo hacen en su integridad, o que no se presentan de ninguna manera. Tal parece 
  ser la naturaleza de la experiencia concreta que cambia siempre por cantidades 
  sensibles o queda inalterada. El car&aacute;cter de infinito que encontramos 
  en ella lo hemos introducido nosotros al concebir una infinita repetici&oacute;n 
  del acto de subdividir cualquier cantidad dada. Los hechos no resisten el tratamiento 
  conceptual subsiguiente; pero no tenemos por qu&eacute; creer que esta concepci&oacute;n 
  reproduce la operaci&oacute;n por la cual fueron originalmente creados. 
<p>As&iacute; vemos que la antinomia del crecimiento matem&aacute;ticamente continuo 
  no es sino una m&aacute;s de las diferentes maneras en que nuestra transformaci&oacute;n 
  conceptual de la experiencia perceptual la hace menos comprensible que nunca. 
  Puede muy bien ocurrir que un intelecto que no se detenga en sus conclusiones 
  no alcance a comprender que el ser debe aumentar inmediatamente y en cantidades 
  finitas; pero lo que nuestro intelecto no s&oacute;lo no puede entender, sino 
  que halla absurdo, es que el ser se identifica con la consumaci&oacute;n de 
  una interminable cadena de unidades (por ejemplo, &quot;puntos&quot;), ninguna 
  de las cuales contiene la cantidad del ser (por ejemplo, &quot;espacio&quot;) 
  que se espera como resultado. La sustituci&oacute;n de la intuici&oacute;n por 
  la &quot;aritmetizaci&oacute;n&quot; parece as&iacute;, considerada como descripci&oacute;n 
  de la realidad, un &eacute;xito solamente parcial. Mejor es aceptar, como dice 
  Renouvier, los oscuros datos dados en la perpeci&oacute;n, que conceptos absurdos<a href="#nota11"><sup>11</sup></a>. 
<p>Hasta aqu&iacute; el problema del infinito y la intepretaci&oacute;n del cambio 
  continuo por la nueva definici&oacute;n del infinito. Vemos que la imagen de 
  una realidad discreta y que cambia a pasos finitos en n&uacute;mero, resulta 
  tan inaceptable a nuestro entendimiento y af&iacute;n a nuestra imaginaci&oacute;n 
  como antes. As&iacute;, despu&eacute;s de estos &aacute;ridos y est&eacute;riles 
  cap&iacute;tulos retomamos el tema principal de nuestra investigaci&oacute;n 
  precisamente donde lo dejamos. &iquest;Crece la realidad por repentinos incrementos 
  de novedad o no? El contraste entre la continuidad y la discontinuidad ahora 
  nos confronta de otra manera. La definici&oacute;n matem&aacute;tica de la cantidad 
  continua que dice &quot;aquella cantidad que se halla entre dos elementos o 
  t&eacute;rminos cualesquiera, de los cuales hay otra t&eacute;rmino&quot; se 
  opone directamente a la noci&oacute;n m&aacute;s emp&iacute;rica o perceptual 
  de que cualquier cosa es continua cuando sus partes aparecen como vecinas pr&oacute;ximas 
  e inmediatas, sin que nada se interponga entre ellas. De ahora en adelante nuestra 
  tarea consistir&aacute; en ocuparnos de la explicaci&oacute;n perceptual; pero 
  antes de abocarnos definitivamente a esta discusi&oacute;n ser&iacute;a mejor 
  que nos desembaraz&aacute;ramos de otro problema cl&aacute;sico: el problema 
  de la causalidad.
<p>&nbsp;
<hr>
<br>

<H3>Notas</H3>

<a name="nota1"></a>
<p><b><a name="nota1" id="nota1"></a>1.</b> Nosotros mismos podemos concluir que 
  el cambio completado en infinito n&uacute;mero de paso es inadmisible. Esto 
  no puede considerarse como un hecho inferido de consideraciones conceptuales. 
  Se trata tan s&oacute;lo de la conclusi&oacute;n de que una cierta hip&oacute;tesis 
  conceptual acerca del hecho del cambio no marcha satisfactoriamente. Queda as&iacute; 
  libre el campo para cualquiera otra hip&oacute;tesis; y la que adoptemos ser&aacute; 
  simplemente aquella que sugiera la apariencia de la experiencia perceptual.
<p><b><a name="nota2" id="nota2"></a>2.</b> El tiempo pasado puede ofrecer dificultades 
  al estudiante, como las ha ofrecido a grandes hombres. Ha terminado el momento 
  presente, se ha saldado y constituido una &quot;cantidad&quot;. Pero es posible 
  contar esta cantidad en ambas direcciones; y puede pensarse que en ambas arrojar&aacute; 
  el mismo resultado. Si, cuando se la cont&oacute; hacia adelante vino a acabar 
  en el presente, se nos dice que luego, al ser contada hacia atr&aacute;s, debe 
  llegar a un fin en el pasado. Por tanto debe haber tenido un comienzo y su cantidad 
  deber ser finita. El sofisma es burdo, y equivale a decir qeu lo que tiene un 
  t&eacute;rmino debe tener dos. El &quot;fin&quot; del recuento hacia adelante 
  <em>es</em> el &quot;principio&quot; del recuento hacia atr&aacute;s, y es el 
  &uacute;nico comienzo l&oacute;gicamente implicado. El fin de una serie no debe 
  decidir de ninguna manera si tiene o no comienzo; y esto se aplica tanto a cursos 
  temporales como a la abstracta regresi&oacute;n que forman los n&uacute;meros 
  negativos.
<p><strong><a name="nota3"></a>3.</strong> El lector advertir&aacute; con qu&eacute; 
  &eacute;nfasis insisto sobre el punto de vista distributivo en toda esta discusi&oacute;n. 
  La concepci&oacute;n distributivaa es id&eacute;ntica a la concepci&oacute;n 
  pluralista, como la concepci&oacute;n colectiva es id&eacute;ntica a la monista. 
  A medida que este libro avance creo que percibiremos con claridad creciente 
  que la existencia por partes es independiente de la existencia total y que por 
  lo menos algunos hechos s&oacute;lo existen distributivamente o en forma de 
  un conjunto de partes que, aunque fueran infinitas en n&uacute;mero, no necesitan 
  en ning&uacute;n sentido inteligible experimentarse a s&iacute; mismas o ser 
  experimentadas por alguna otra cosa, como partes de un todo.
<p><strong><a name="nota4"></a>4.</strong> H. Poincar&eacute;: <em>La Science 
  et l'Hypoth&egrave;se</em> [Traducci&oacute;n espa&ntilde;ola de Pedro M. Gonz&aacute;lez 
  Quijano: <em>La ciencia y la hip&oacute;tesis</em>, Madrid, J. Ruiz, 1907], 
  p. 30
<p><strong><a name="nota5"></a>5.</strong> B. Russell: <em>The Philosophy of Mathematics</em> 
  [<em>Filosof&iacute;a de las matem&aacute;ticas</em>], I, 260, 287.
<p><strong><a name="nota6"></a>6.</strong> El hecho de que al ser considerados 
  distributivamente, o apareados uno a uno, los t&eacute;rminos de una serie infinitamente 
  creciente deber&iacute;an corresponder a los de otra serie (o &quot;similar&quot; 
  a ellos) es completamente compatible con el hecho de que ambas series sean conjuntos 
  de cantidades muy desiguales. S&oacute;lo se necesita hacer los pasos de diferencia, 
  o distancias, entre los t&eacute;rminos m&aacute;s grrandes en una serie que 
  en la otra, para obtener conjuntos num&eacute;ricamente similares, con un contenido 
  de magnitudes sumamente desiguales. Adem&aacute;s, en el momento en que cualquiera 
  de las series se detuviese, la &quot;similitud&quot; dejar&iacute;a de existir.
<p><strong><a name="nota7"></a>7.</strong> La clase de todos los n&uacute;meros 
  &quot;anterior al primer transfinito&quot; es una concepci&oacute;n definidamente 
  limitada, supuesto que tomamos los n&uacute;meros por particulares, porque entonces 
  cualquiera y todos ellos por definici&oacute;n tendr&aacute;n que venir antes 
  del n&uacute;mero transfinito, a&uacute;n cuando no constituyan un todo ni haya 
  uno que sea el &uacute;ltimo de ellos, y aunque el transfinito no tenga predecesor 
  inmediato. El transfinito, en una palabra, no es una concepci&oacute;n ordinal, 
  por lo menos no contin&uacute;a el orden de los n&uacute;meros enteros.
<p><strong><a name="nota8"></a>8.</strong> Las propias exposiciones del acertijo 
  y de su soluci&oacute;, de Bertrand Russell, son demasiado t&eacute;cnicas para 
  seguirlas punto por punto en libro como &eacute;ste. As&iacute; como &eacute;l 
  encuentra necesario parafrasear el acertijo, yo encuentro conveniente parafrasearlo 
  a &eacute;l, esperando sinceramente no cometer ninguna injusticia en ello.
<p><strong><a name="nota9"></a>9.</strong> <em>Philosophy of Mathematics</em>, 
  I, 361. Como contraparte de la paradoja de Aquiles, Russell propone una paradoja 
  de Tristam Shandy. Puesto que, de acuerdo a Sterne, Tristam Shandy tard&oacute; 
  dos a&ntilde;os en escribir la historia de los dos primeros d&iacute;as de su 
  vida, el sentido com&uacute;n concluir&iacute;a que a ese paso nunca hubier 
  podido escribirse su vida. Pero Russell prueba lo contrario, pues como la serie 
  de los d&iacute;as y de los a&ntilde;os no tiene fin, la historia del en&eacute;simo 
  d&iacute;a se escribir&aacute; en el en&eacute;simo a&ntilde;o, la historia 
  de cualquier d&iacute;a determinado se escribir&aacute; alguna vez y de este 
  modo nada quedar&aacute; por escribir. Pero la prueba de Russell no puede aplicarse 
  al mundo real sin la hip&oacute;tesis f&iacute;sica que &eacute;l expresa diciendo: 
  &quot;Si Tristam Shandy vive siempre, y no se aburre de su tarea&quot;. Es necesario 
  forjar semejante hip&oacute;tesis absurda en todos los casos reales de un cambio 
  continuo: el agente del cambio debe vivir siempre, en el sentido de sobrevivir 
  un infinito conjunto de puntos de tiempo, y &quot;no aburrirse&quot; de esta 
  imposible tarea.
<p><strong><a name="nota10"></a>10.</strong> Debido a mi casi completa ceguera 
  para las matem&aacute;ticas y la l&oacute;gica, siento considerable timidez 
  al diferir de la opini&oacute;n de esp&iacute;ritues tan superiores; pero, &iquest;qu&eacute; 
  puede hacerse sino seguir la propia y d&eacute;bil luz? La literatura sobre 
  el nuevo infinito es tan t&eacute;cnica que es imposible citar detalles es una 
  obra no matem&aacute;tica como es &eacute;sta. Los estudiantes interesados deber&iacute;an 
  consultar los &iacute;ndices de B. Russell: <em>Philosophy of Mathematics</em>; 
  L. Couturat: <em>Infini Math&eacute;matique</em>, o sus <em>Principes of Math&eacute;matiques</em>. 
  Se encontrar&aacute; una exposici&oacute;n a&uacute;n m&aacute;s rigurosa en 
  E. V. Huntington: <em>The Continuum as a Type of Order</em> [<em>El continuo 
  como tipo de orden</em>] en los <em>Annals of Mathematics</em> [<em>Anales de 
  matem&aacute;ticas</em>], vols. VI y VII, Harvard University. V&eacute;ase tambi&eacute;n 
  el art&iacute;culo de C. S. Peirce en <em>Monist</em>, II, 537, <em>Proceedings 
  of the London Mathematical Society</em> [<em>Actas de la sociedad matem&aacute;tica 
  de Londres</em>], vol. XXXV. Para discusiones m&aacute;s populares, v&eacute;ase 
  J. Royce: <em>The World and the Individual</em> [<em>El mundo y el individuo</em>], 
  vol. I, ensayo suplementario; Keyser: <em>Journal of Philosophy</em>, etc., 
  I, 29 y <em>Hibbert Journal</em> [<em>Revista de Hibbert</em>], VII, 380-390; 
  S. Waterton en <em>Aristotelian Society Proceedings</em> [<em>Actas de la sociedad 
  aristot&eacute;lica</em>], 1910; Leignton: <em>Philosophical Review</em>, XIII, 
  497; y, finalmente, los &iacute;ndices de los tres recientes libritos de H. 
  Poincar&eacute;: <em>La Science et l'Hypoth&egrave;se</em>, Par&iacute;s; <em>El 
  valor de la ciencia</em> (traducci&oacute;n inglesa autorizada de G. B. Halstead), 
  [Traducci&oacute;n espa&ntilde;ola de E. Gonz&aacute;lez Llana, Madrid, Librer&iacute;a 
  Gutenberg, 1906], Nueva York, 1907; <em>Science et M&eacute;thode</em> [Traducci&oacute;n 
  espa&ntilde;ola de E. Cazorla: <em>La ciencia y el m&eacute;todo</em>, Madrid, 
  J. Ruiz, 1910], Par&iacute;s, 1908. El m&aacute;s animado de los ataques breves 
  que conozca, contra infinitos completados por s&iacute;ntesis sucesivas, es 
  el de G. M. Fullerton en su <em>System of Metaphysics</em>.
<p><strong><a name="nota11"></a>11.</strong> El continuo de puntos ilustra espl&eacute;ndidamente 
  mi queja de que el m&eacute;todo intelectualista transforma el fluir en algo 
  est&aacute;tico y discreto. Los brotes o pasos del proceso que la percepci&oacute;n 
  acepta como datos primarios del ser corresponden l&oacute;gicamente a los &quot;infinitesimales&quot; 
  (cantidades m&iacute;nimas de noci&oacute;n, cambio o lo que fuere) de lo que 
  la matem&aacute;tica reciente supone haberse librado. As&iacute; Russell se 
  encuentra obligado, como Zen&oacute;n, a tratar el movimiento como irrealidad: 
  &quot;Weierstrass&quot;, dice Russell, &quot;al desterrar estrictamente todos 
  los infinitesimales ha mostrado al fin que vivimos en un mundo sin cambio, y 
  que la flecha, en cada momento de su vuelo, est&aacute; verdaderamente es reposo&quot; 
  (<em>op</em>. <em>cit</em>. p. 347). &quot;Debemos rechazar enteramente la noci&oacute;n 
  de un estado de movimiento&quot;, dice en alguna otra parte; &quot;el movimiento 
  consiste meramente en la ocupaci&oacute;n de diferentes lugares en diferentes 
  tiempos. [...] No hay transici&oacute;n de lugar a lugar, no hay momento o posici&oacute;n 
  consecutivos, no existe la velocidad salvo en el sentido de un n&uacute;mero 
  real que es el l&iacute;mite de un cierto conjunto de cocientes&quot; (<em>op</em>. 
  <em>cit</em>. p. 473). El llamdo &quot;continuo&quot; matem&aacute;tico se transforma 
  de este modo en un discontinuo absoluto, en cualquier sentido f&iacute;sico 
  o experimental. Los extremos se tocan; y aunque Russell y Zen&oacute;n est&aacute;n 
  de acuerdo en negar el movimiento perceptual, para el primero lo reemplaza una 
  pura unidad, mientras que, para el segundo, una pura multiplicidad. Es probable 
  que la negaci&oacute;n del cambio, etc., formulada por Russell, se refiera solamente 
  al mundo matem&aacute;tico. Ser&iacute;a injusto acusarlo de escribit metaf&iacute;sica, 
  aunque no da ninguna advertencia de que no sea as&iacute;.
<p>&nbsp; 
<HR>

<BLOCKQUOTE><B>Una de las ventajas de los textos en formato electr&oacute;nico 
respecto de los textos impresos es que pueden corregirse con gran facilidad 
mediante la colaboraci&oacute;n activa de los lectores que adviertan erratas, errores 
o simplemente mejores traducciones. En este sentido agradecer&iacute;amos que se 
enviaran todas las sugerencias y correcciones a <A 
href="mailto:webmastergep@unav.es">webmastergep@unav.es</A></B></BLOCKQUOTE>

<HR>

<BR>

<BLOCKQUOTE> Fecha del documento: 8 de mayo 2008<BR>
  Ultima actualizaci&oacute;n: 8 de mayo 2008</BLOCKQUOTE>

<BR>

<CENTER><A href="http://www.unav.es/gep/">[P&aacute;gina Principal]</A> <A href="mailto:webmastergep@unav.es">[Sugerencias]</A></CENTER>

<BR>

</BODY>

<HR>

<CENTER><A href="http://www.unav.es/"><IMG height=35 
alt="Universidad de Navarra" src="UNlogo2.gif" width=229 
border=0></A></CENTER></BODY></HTML>

</HTML>

�