El problema inquiere cuál es el supuesto más racional: que las adiciones a la cantidad o especie de realidad ya existente son continuas o que son discontinuas.
Según la teoría de la discontinuidad, el tiempo, el cambio, etc., crecerían por gotas o brotes finitos, en los que no aparece nada, o bien ciertas cantidades que surgen de golpe. De acuerdo a esta concepción cada rasgo del universo tendría una constitución numérica definida. Así como lo mínimo que puede haber es un átomo, y no un semi-átomo o un cuarto de átomo, y cada cantidad finita de materia contiene un número finto de átomos, así también cualquier cantidad de tiempo, espacio, cambio, etc., que pudiéramos suponer, estaría compuesta de un número finito de cantidades mínimas de tiempo, espacio, cambio, etc.
Semejante composición discreta es lo que realmente logramos en nuestra experiencia perceptual. No percibimos nada o percibimos algo que ya está allí en una cantidad sensible. Este es el hecho que en psicología se conoce como "ley del umbral de conciencia". Se dice que, nuestra experiencia carece de contenido y de cambio, o que contiene una cantidad perceptible de contenido y de cambio. Nuestro conocimiento de la realidad crece literalmente por gotas o brotes de perfección. Intelectualmente y por reflexión podemos dividirlas en sus componentes, pero tal como son dadas inmediatamente llegan en su totalidad o no llegan en absoluto.
Sin embargo, si consideramos el tiempo y el espacio como conceptos, no como datos perceptuales, no se advierte cómo puede tener esta constitución atomística. Porque si los átomos o gotas carecen en sí mismos de duración o extensión, es inconcebible que agregando una cantidad de ellos aumente el tiempo o el espacio. Si, por otra parte, son pequeñísimas duraciones o extensiones, es imposible tratarlos como cantidades mínimas reales. Cada gota temporal debe tener una mitad anterior y otra posterior, cada unidad espacial debe tener una mitad derecha y otra izquierda, y estas mitades a su vez deben tener otras mitades y así siguiendo ad infinitum, de modo que a la noción de que la constitución de las cosas es continua y no discreta, se encuentra inseparablemente ligada la de una divisibilidad ad infinitum. Esta infinita indivisibilidad de algunos hechos, unida la infinita capacidad de expansión de otros (espacio, tiempo y número) ha dado lugar a uno de los más obstinados problemas dialécticos de la filosofía. Voy a dedicarme ahora, de la manera más simple que sea capaz, al problema del infinito.
Hay un pseudo-problema: ¿cómo lo finito puede conocer lo infinito? que ha preocupado a algunas cabezas inglesas1. Pero en este sentido se podría preguntar ¿cómo un gordo puede conocer a un flaco? Cuando tratemos el problema del conocimiento, tales problemas se desvanecerán. El verdadero problema del infinito comenzó con los famosos argumentos contra el movimiento de Zenón de Elea. La escuela de Pitágoras era pluralista. "Las cosas son los números", había dicho el maestro, significando aparentemente que la realidad consistía en puntos que se pueden numerar2. Los argumentos de Zenón querían mostrar, no que el movimiento no podía tener lugar realmente, sino que no podía concebirse que tiene lugar mediante la ocupación sucesiva de puntos. Si una flecha en vuelo ocupa cada punto de tiempo un determinado punto de espacio, su movimiento consiste nada más que en una suma de reposos, pues no existe, fuera de los puntos; y cuando está en un punto no se mueve. El movimiento no puede ocurrir verdaderamente si posee esta constitución discreta.
Más conocida que la paradoja de la flecha es la de Aquiles. Supongamos
que Aquiles fuera a correr una carrera con una tortuga y que se moviera dos
veces más rápido que su rival, a la que da una ventaja inicial
de una pulgada. En el tiempo en que Aquiles ha completado esa pulgada, o en
otras palabras, en el tiempo en que ha llegado hasta el punto de partida de
la tortuga, ésta se encuentra a media pulgada delante de él. Mientras
Aquiles atraviesa esa media pulgada, la tortuga atraviesa un cuarto de pulgada,
etc. De modo que los puntos sucesivos ocupados por los corredores simultáneamente
forman una serie convergente de distancias desde el punto de partida de Aquiles.
En pulgadas estas distancias serían las siguientes:
Ahora bien, Zenón supone que el espacio debe ser infinitamente indivisible. Pero si es así, el número de puntos que ha de ocuparse no puede ser enumerado en sucesión, porque la serie comenzada es interminable. Cada vez que Aquiles llega al último punto ocupado por la tortuga encuentra que ésta se ha movido a un punto más distante, y aunque el intervalo entre los puntos pronto se convierte en infinitesimal es matemáticamente imposible que ambos corredores lleguen a un mismo punto en el mismo instante. Si Aquiles pudiera alcanzar a la tortuga sería al final de dos pulgadas, y si su velocidad fuera de dos pulgadas por segundo sería al final del primer segundo3; pero el argumento muestra simplemente que no puede alcanzar al animal. Para hacerlo debería agotar, atravesándolos uno a uno, toda la serie de puntos que, por la ley de su formación, no tiene fin.
Los diversos argumentos de Zenón pretendían establecer la doctrina eleática del ser real, que era una doctrina monista. Los minima sensibilia que componen el espacio, el tiempo, el movimiento y el cambio de nuestra percepción no son seres reales, porque se subdividen ad infinitum. La naturaleza del ser real es entera o continua. Nuestra percepción, al darnos irremediablemente una multiplicidad es falsa. Entretanto, los matemátcos modernos han construido lo que consideran un continuo adecuado, compuesto de puntos o números. Cuando me refiera nuevamente a este asunto tendré ocasión de retornar a la llamada falacia de Aquiles. Ahora pasaré directamente al próximo gran ataque histórico al problema del infinito, que reside en la sección de las antinomias en la Crítica de la razón pura de Kant.
La concepción de Kant requiere alguna breve aclaración preliminar:
1. Para Kant hay que considerar como axioma ontológico que la existencia real u objetiva debe ser la existencia determinada. Así, podemos estar inseguros acerca de cuántas estrellas vemos en las Pléyades, o dudosos acerca de a quién creer sobre su número, pero la visión y la creencia son afecciones subjetivas y, por otra parte, estamos seguros de que las estrellas en sí mismas existen en número definido. Estamos seguors de que "hasta los pelos que tenemos en la cabeza tienen un cierto número", aunque nadie jamás los cuente4. Cualquier realidad existente, tomada en sí misma, debe por tanto ser contable y deberá poderse aplicar algún número definido a cualquier grupo de tales realidades.
2. Kant define el infinito como "aquello que nunca puede ser medido completamente por la sucesiva adición de unidades"; en otras palabras: como lo que resiste la enumeración completa.
3. Kant sienta axiomáticamente que si algo es dado como realidad existente, la suma total de las condiciones requeridas para explicarla también debe ser dada o haber sido dada. Así, si se da un metro cúbico de espacio, todas sus partes deben ser igualmente dadas. Si una cierta fecha del pasado es real, entonces las fechas anteriores también deben ser reales. Si se da un efecto, todas la serie de sus causas debe haber sido dada, etc., etc.
Pero las condiciones de estas causas resisten la enumeración: las partes del espacio son cada vez menores ad infinitum, los tiempos y las causas forman series que no podemos contar porque se alejan progresivamente de nosotros, y con tales cosas es imposible formar un todo. Cualquiera de estas series tiene un valor variable, porque el número de sus términos es indefinido; mientras que si la suma total de las condiciones estuviera realmente dada éstas deberían existir (por el primer principio enunciado) en cantidad numérica fija5.
Tal era el acertijo del infinito que Kant proponía. El lector observará una mala ambigüedad en la declaración. Cuando Kant habla de la "totalidad absoluta de la síntesis" de las condiciones, estas palabras parecen sugerir que debe existir o haber existido una colección completa de ellas. Cuando se nos dice que "la suma total de ellas debe ser dada", interpretamos que deben ser dadas en la forma de una suma total; pero la situación lógica, requiere solamente que no falte ninguna de ellas, requisito enteramente diferente y que puede cumplirse tanto en una serie que crece indefinidamente como en una serie terminada. Las mismas cosas pueden ser tomadas siempre coletiva o distributivamente: se puede hablar de ellas como de "todas" o de "cada una" o de "cualquiera". Cada una de estas afirmaciones se puede aplicar igualmente bien a lo que existe en número finito; y en ambos casos se abarca "todo lo existente". Pero sólo se puede hablar distributivamente de las series infinitas si deseamos no excluir ninguna de ellas. Cuando decimos que se deben cumplir "todas", "cada una" o "cualquiera" de las condiciones de Kant, estamos en un terreno impecable, aún cuando las condiciones formaran una serie tan infinita como la de todos los números a la cual siempre podremos agregar una unidad. Pero si decimos que deben cumplirse "todas" e imaginamos que "todas" significa una suma o colección representada por un número, no sólo socilitamos un requisito completamente innecesario para la lógica de la situación, sino que creamos acertijos y problemas incomprensibles que de otro modo no existirían y que para desterrar quizá requiriesen hipótesis tan violentas como las del idealismo de Kant.
Dicho con las palabras de Renouvier —el más grande filósofos de Francia en la segunda mitad del siglo XIX— aquí también ha tenido un papel capital el problema del infinito. Partiendo del principio de la determinación numérica de la realidad (ver más arriba, en la página.....) o, principio du nombre, como Renouvier lo llamaba, y reconociendo que la serie de números 1, 2, 3, 4.... etc., no conduce a ningún número "infinito", concluyó que realidades tales como seres presentes, acontecimientos y causas pasadas, momentos de cambio y partes de la materia, deben existir necesariamente en cantidad limitada. Esto lo convirtió en un pluralista radical. Decía Renouvier que es mejor admitir que el ser se nos da abruptamente, que hay primeros principios, números absolutos, cesaciones definidas, por muy oscuro que ello nos pueda parecer intelectualmente, que tratar de racionalizar toda esta arbitrariedad de hechos introduciendo elaboradas condiciones explicatorias que en cada caso implicarían la contradicción de que las cosas son acabadas y completas aunque infinitas en su composición formal.
Con estos principios Renouvier podía creer en novedades absolutas, comienzos inmediatos, dones, azar, libertad y actos de fe. Para Renouvier los hechos se traslapan; la explicación conceptual es deficiente; en última instancia la realidad nos llega por partes y no es deducida eviternamente de otra realidad. Esta hipótesis empirista, distinta de la concepción racionalista, es la hipótesis propuesta en nuestro último capítulo6.
1. En la obra de H. Calderwood: Philosophy of the Infinite [Filosofia del infinito] se hallará la discusión de las dificultades menores con una inconsciencia casi total con respecto a las dificultades importantes.
2. En esta exposición sigo a J. Burnet: Early Greek Philosophy [La filosofía griega primitiva, en el capítulo sobre los Pitagóricos], y Paul Tannery: "Le Concept Scientifique du Continu" en la Revue Philosophique, XX, 385.
3. Esto muestra cuán superficial es la "exposición" del "sofisma" de Zenón, que lo acusa de querer probar que para alcanzar a la tortuga Aquiles necesitaría un tiempo infinitamente largo.
4. No diré nada aquí sobre el origen de este postulado, singularmente plausible.
5. La contradicción entre el infinito de la forma de las condiciones y las determinaciones numéricas implicadas en el hecho de ellas, se debía, según Kant, a la forma "antinómica" de nuestra experiencia. Su solución de este acertijo apunta por el lado del "idealismo" y es uno de los rasgos más lindos de su filosofía. Puesto que las condiciones no pueden existir en forma de un conjunto totalizado, debe ser, dice, que no existen independientemente, o an sich, sino sólo como fenómenos, o para nosotros. La infinitud de la totalidad no es incompatible con la existencia meramente fenoménica. Los fenómenos "reales", condicionantes o condicionados, existen para nosotros sólo en una totalidad finita,tal como se ofrecen a la percepción en cualquier momento dado; y su forma infinita significa solamente que podemos seguir percibiendo o imaginando cada vez más acerca de ellos. No significa que lo que así nos representemos haya existido desde luego por sí, aparte de nuestros actos de imaginación. Para el idealismo la experiencia se divide en dos partes: una fenoménica que es finita, y una parte condicionante infinita que no está dada, sino sólo posible a la experiencia futura. Kant distingue la segunda parte como solamente aufgegeben (o propuesta a nosotros como una tarea) de la primera parte, como gegeben (o existente de antemano).
6. Creo que Renouvier cometió errores, y encuentro todo su estilo y aparato filosófico demasiado escolástico. Pero era una de los más grandes espíritus filosóficos, y si no hubiera sido por la decisiva impresión que me produjo su magistral defensa del pluralismo, en mil ochocientos setenta y tantos, quizá no me habría librado jamás de la superstición monista de mi educación. En una palabra: posiblemente nunca habría escrito este volumen. Es por esta razón que, al sentirme infinitamente agradecido, lo dedico a la memoria del gran Renouvier. Sus obras forman una larga lista. La fundamental es la que lleva el título de Essais de Critique Genérale (primera edición, 1824-1864, en sus cuatro volúmenes; segunda edición, 1875, en seis). Le Personnalisme, 1903, ofrece quizá la exposición más adecuada de sus últimas opiniones; mientras que el último capítulo de su Esquisse d'une Clasification des Systèmes (titulado "Comment je suis arrivé à ces conclusions") es un esbozo autobiográfico de sus andanzas con el problema del infinito. Derniers Entretiens, que dictó moribundo, a la edad de ochenta y ocho años, es un documento impresionante, que parece venir de un personaje de Plutarco.
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Fecha del documento: 8 de mayo 2008
Ultima actualización: 8 de mayo 2008