II Jornadas "Peirce en Argentina"
7-8 de septiembre del 2006
"Infinity is nothing but a peculiar twist given to generality".
(CP 8.268)
Peirce fue uno de los primeros pensadores a argumentar a favor de la existencia real de conjuntos infinitos. Su criterio para diferenciar entre conjuntos finitos e infinitos era el así llamado "silogismo de la cantidad transpuesta", introducido por De Morgan y que es válido cuando aplicado a conjuntos finitos, e inválido cuando aplicado a conjuntos infinitos. Peirce ofrece varias versiones de ese silogismo, una de ellas dice así:
Todo texano mata a un texano.
Ningún texano es muerto por más que un texano.
De ese modo, todo texano es muerto por un texano.
A partir de la colocación de ese criterio, una diferencia entre el abordaje que Peirce ofrece al problema de los conjuntos infinitos y los demás abordajes realizados en la segunda mitad del siglo XIX puede ser evidenciado. Diferentemente de los matemáticos que entonces trataron la cuestión del infinito, el interés de Peirce por el tópico fue motivado por una preocupación lógica y no decurrente de las cuestiones suscitadas por el análisis. Como afirma en 1897:
Un abordaje lógico perfectamente satisfactorio de la concepción de continuidad es requerido. Este envuelve la definición de un cierto tipo de infinito, y afín de tornarlo un poco más claro, es necesario empezar por desarrollar la doctrina lógica de las grandezas infinitas. Esa doctrina aún permanece, después los trabajos de Cantor, Dedekind, y otros, en una situación incipiente. Por ejemplo, cuestiones como las siguientes permanecen sin respuestas: ¿es, o no es, lógicamente posible para dos colecciones sean de tal grandeza que ninguna de ellas pueda ser colocada en correspondencia de uno a uno con la parte o con el todo de la otra? Resolver ese problema demanda no una simple aplicación de la lógica, pero un mayor desarrollo de la concepción de posibilidad lógica. (CP 3.526).
De hecho, podemos identificar al menos tres aspectos del pensamiento de Peirce que necesitaban de una definición más precisa de la noción de infinito: el lógico, el semiótico y el cosmológico.
Nuestras consideraciones aquí hoy serán desarrolladas a partir de una reconstrucción del papel que el concepto de continuum desempeña dentro de su perspectiva cosmológica. Antes, sin embargo, que pasemos a ese tópico, cabe algunas palabras a respecto del concepto de continuum abrazado por Peirce.
Segundo Potter y Shields (1961), de 1880 hasta 1911, período en el cual Peirce intentó ofrecer una definición matemáticamente precisa del concepto de continuidad, es posible reconocer cuatro etapas en el pensamiento peirceano:
1. Pre-Cantoriano: hasta 1884
2. Cantoriano: 1884 – 1894
3. Kantístico: 1895 – 1908
4. Pos-Cantoriano: 1908 – 1911.
El primer período es marcado por la conciencia, pero no por la solución, de que había una confusión incomún entre las nociones de continuidad y divisibilidad infinita. Después de 1884, Peirce adhiere a la posición de Cantor, afirmando que la noción de continuidad debería ser definida independientemente de nuestras concepciones de espacio y tiempo. Él afirma que la definición de Cantor por perfecta concatenación era la "definición menos insatisfactoria" (CP 6.164).
Enseguida, sin embargo, motivado por una reflexión sobre la definición propuesta por Kant de que continuum es "todo aquello, cuyas partes tienen partes del mismo tipo" (CP 6.168), Peirce pasa a considerar el continuum no más como infinita divisibilidad, pero como aquello que no tiene partes de modo alguno. En ese sentido, ubica críticas a Cantor insistiendo en un abordaje no métrico del continuum, pasando a usar el término grandeza (multitude) en sus elaboraciones, lo que hoy conocemos como cardinalidad. Así afirma que "la posibilidad de determinar más que cualquier dada grandeza de los puntos, o en otras palabras, el hecho de que hay lugar para cualquier grandeza en cada parte de la línea, la torna continua" (CP 3.568). Peirce afirma, pues, que continuidad es totalmente diferente de cualquier colección de elementos discretos; y que, por otro lado, cuanto mayor una colección se torna, más ella se parece con el continuum. Esa posición perdura hasta por vuelta de 1908, cuando, motivado por problemas en el interior de ese abordaje, Peirce procura una nueva elaboración. En particular, a partir de la crítica a Cantor de que el continuum no es realmente una colección, surge la necesidad de explicarse como las partes del continuum se juntan en un todo, pues el continuum claramente tiene partes.
En 1906, Peirce enfatiza que "todo lo que es continuo, tiene partes materiales" y que, por tanto, no puede ser pensado como una colección de puntos (CP 6.174). El modo de conexión de sus partes contribuye para la naturaleza del todo. En una colección el modo de conexión es sólo el estar junto (co-being), pero en el continuum ella debe consistir de alguna cosa a más. Apenas en 1908, retomando la definición de Kant, de que "todas las partes de un continuum perfecto tiene la misma dimensionalidad que el todo", Peirce afirma que es un decurso de esa definición no apenas que todas las partes deben tener partes del mismo tipo, pero que las partes suficientemente pequeñas deben tener un modo uniforme de conexión inmediata. El modo de conexión inmediata tiene como paradigma la noción de tiempo. O sea, al final Peirce retoma lo que había descartado en 1889, cuando adhirió a la definición de Cantor, y pasa a tratar el continuum en términos de semejanza con la conexión de las pequeñas partes temporales.
Como afirman Potter y Shields (1961) "La concepción final de continuidad de Peirce, entonces, queda así: la definición matemática de continuidad describe un continuum imperfecto (CP 4.642), pero el verdadero continuum es alguna cosa diferente de cualquier relación métrica o del orden de los elementos. El verdadero continuum no tiene elementos reales, aunque no sea vacío" (POTTER E SHIELDS, 1961, p. 139).
Los constituyentes del continuum son los infinitesimales. Peirce es muy cuidadoso al tratar de los infinitesimales, los considera siempre como una hipótesis que, si no sea inconsistente, será muy útil para la explicación de la realidad1.
Habiendo hecho ese breve histórico de la evolución del pensamiento de Peirce acerca del continuum, paso ahora a hacer algunas consideraciones sobre la importancia del mismo en el interior de su epistemología y cosmología. De hecho, las preocupaciones con el continuum pueden ser vistas como un decurso de la estructuración de una filosofía anti-cartesiana y evolucionista que empezó a delinearse ya en la década de 1860.
El continuum es considerado, por la mayoría de los comentadores2 de Peirce, como la piedra fundamental de toda su filosofía.. Es necesario recordar que al lado de la preocupación matemática con la definición de continuum, hay en los trabajos de Peirce una profunda reflexión sobre su ontología, surgida a partir de sus consideraciones metafísicas. Ese primer abordaje de la continuidad, a partir de una perspectiva descriptiva, adecuado a la cosmología o metafísica de los procesos evolutivos, sin embargo, no se opone al abordaje matemático, que, en realidad, la confirma. Son las conclusiones de ese modo hipotético de investigación que orientaron, en gran parte, su abordaje matemático.
La elaboración de la hipótesis del continuum es tomada como una consecuencia de la primera y más importante máxima lógica asumida por Peirce, la de que no se puede "bloquear el camino de la investigación". De ese modo, el continuum es tomado como un medio de "evitar la hipótesis de que eso o aquello sea inexplicable" (CP 6.171). Pues, discontinuidades como puntos o instantes marcados en los cuales el continuum de un general es quebrado son, en ellos mismos, no explicables, afirma Peirce. Sólo hacen sentido cuando referido a un contexto mayor que é fornecido pelo continuum. Según Peirce la única justificación para insistir en la hipótesis del continuum es que ofrece una explicación para los fenómenos.
Los fenómenos se imponen al hombre y es necesario elaborar hipótesis testable para explicarlos o, al menos, hipótesis que lleven tan lejos como sea posible el horizonte de la inteligibilidad, o sea, no bloquean el camino de la investigación. La afirmación de que la postulación del incognoscible en el seno de la naturaleza es una estrategia que debe ser exilada de los procedimientos científicos está en consonancia con la filosofía peirceana.
La observación de los fenómenos naturales, destituida de cualquier prejuicio, nos enseña al menos dos cosas: en primer lugar, que hay una increíble variabilidad en el modo como la naturaleza se manifiesta y, en segundo lugar, que los procesos naturales demuestran ciertas regularidades. Enfrente de esas características, Peirce elabora dos teorías que intentan contestar cómo la realidad debería ser para que nos apareciese así. La primera, referente a la presencia de la variabilidad en la naturaleza, da origen al tiquismo, hipótesis explicativa que postula el acaso absoluto como ingrediente fundamental de la realidad y funda una matriz ontológica indeterminista. La segunda, concerniente a las regularidades, da origen al sinequismo, cuya principal categoría es la de Ley, y procura explicar cómo a partir del acaso absoluto original surgió el mundo que conocemos. De ese modo, Peirce consigue elaborar, por medio de la concurrencia de esos dos factores una explicación que da cuenta del surgimiento de las leyes naturales y de todos los procesos naturales, dejando fuera el acaso, que, por su propia naturaleza, es aquello que no necesita de explicación.
La concurrencia de esos dos ingredientes, acaso y ley, justifica la elaboración de una epistemología falibilista. O sea, no hay verdades absolutas en la concepción peirceana, apenas aproximaciones. El error es siempre una posibilidad presente en el intento de comprensión del hombre, sin embargo, dice Peirce, si el hombre yerra, la naturaleza también lo hace. Según Peirce, "el universo no es un simple resultado mecánico de la actuación ciega de la ley. Lo más obvio de sus caracteres no puede ser explicado. Son los numerosos hechos de la experiencia que nos muestra eso: pero aquello que abrió nuestros ojos para esos hechos es el principio del falibilismo" (CP 1.162).
Para Peirce hay una afinidad natural entre el principio de continuidad y la doctrina del falibilismo: "el principio de la continuidad es la idea del falibilismo objetivado. Pues el falibilismo es la doctrina de que nuestro conocimiento nunca es absoluto, pero siempre fluctúa, como si fuese, en un continuo de incertidumbres e indeterminación. Ahora la doctrina de la continuidad es la de que todas las cosas fluctúan de la misma manera en el continuum" (CP 1.171).
El pasaje de la no-existencia del universo a la existencia se dio por medio de la evolución o crecimiento de la ley, en un proceso en lo cual interfiere tanto la creatividad radical proveída pelo acaso como la propia ley, que se fortalece con su aplicación. La ley fundamental que rige los procesos de crecimiento en el cosmos es denominada por Peirce de ley de la mente, o ley de adquisición de hábitos. Tal ley afirma que las ideas tienden a propagarse continuamente a afectar ciertas otras ideas que mantienen con ellas en una peculiar relación de afetabilidad. Conforme ellas se propagan, pierden intensidad, pero ganan generalidad al ser fundidas con otras ideas. Las ideas se propagan y afectan unas a las otras porque están a una distancia infinitesimal una de la otra.
Intentaremos ahora, por medio de un ejemplo de la actividad mental, explicar algunos elementos de la concepción de continuidad peirceana. Es un ejemplo que cumple una tripla función: 1. nos hace retornar a la definición de continuo por medio del análisis del pasaje del tiempo, 2. muestra como los infinitesimales están presentes en ese proceso y 3. al discutir como se da la actividad mental, muestra también a estructura fundamental del cosmos, pues para Peirce la naturaleza del cosmos es mental, ésta también una decurrencia del principio de continuidad como una hipótesis explicativa de los fenómenos.
La cuestión levantada por Peirce y que servirá de guía para esa discusión es la de "¿cómo una idea pasada puede estar presente?" (CP 6.109). La respuesta, por él propuesta, es de que debemos estar directamente conscientes de las ideas del pasado inmediato. Caso hubiese una laguna entre nuestro conocimiento presente y las ideas del pasado todo nuestro conocimiento del pasado no sería más que una ilusión. O sea, Peirce afirma que la conciencia no retiene una idea en un intervalo finito de tiempo. Así, como consecuencia, debemos estar concientes del pasado "a través de un intervalo de tiempo infinitesimal" (CP 6.110). Como apunta Hausman "nosotros somos llevados a concentrar nuestro examen de la experiencia de ser conciente a través de un flujo de tiempo que debe ser comprendido en términos de componentes infinitesimales" (HAUSMAN, 1993, p. 179).
Como dice Peirce, "nosotros somos concientes únicamente del tiempo presente, el cual se da en un instante, si es que existe tal cosa llamada instante. Pero en el presente, estamos concientes del flujo del tiempo, no hay flujo en un instante. De ese modo, el presente no es un instante" (NEM 3, p. 126).
No tenemos, por consiguiente, una aprensión completa y definida de una idea en un determinado instante del tiempo. La cognición se da en el continuum, por medio de un proceso de imbricación de las ideas que ocurre a través de una sucesión de intervalos infinitesimales en el tiempo. Durante tales intervalos, dirá Peirce, "nosotros percibimos directamente la secuencia temporal de su inicio, medio y fin, no, naturalmente, como una recognición, pues la recognición es únicamente del pasado, pero en la manera de un sentimiento (feeling) inmediato" (CP 6.110-11).
Si, en un primer instante, tenemos acceso al sentimiento del inmediato, no segundo momento tenemos la percepción del pasaje del tiempo. Al unir esos dos, tenemos un tercero que indica una dirección y que requiere una interpretación, una inferencia, en la medida en que se obtiene una generalidad.
Peirce continuará diciendo que cuando hay "un flujo continuo de inferencias a través de un tiempo finito" el resultado "será una conciencia objetiva mediata del tiempo completo en el momento pasado" (CP 6.111). Por medio de este análisis, el autor está proponiendo un abordaje de la relación del flujo temporal sentido y la interpretación cognitiva del mismo, posible únicamente si consideremos continuum compuesto por infinitesimales.
La cognición que es una experiencia mediata requiere la consideración de los sentimientos pasados, imponiendo a ellos una cierta definición de tal manera que puedan ser comparados, lo que se da según un acto interpretativo. Cada intervalo consiste en un momento de la percepción conciente, de tal manera que se puede afirmar que la propia conciencia es continua.
Los infinitesimales, afirma Putnam (1995), fueron gradualmente olvidados durante el siglo XIX, volvieron a las consideraciones matemáticas apenas en la década de sesenta del siglo pasado como un resultado de los trabajos de Abraham Robinson (1966) y otros y del desarrollo de lo llamada análisis Non-Standard. Algunos comentadores, en función de las características presentes en el análisis que Peirce realiza de la noción de infinitesimal, lo ponen como un precursor de esos trabajos. Averiguar en que medida es correcta esa atribución es, sin embargo, un trabajo que aún está por ser hecho y que demandaría un conocimiento matemático mucho más profundizado.
1. Pero ¿qué es un infinitesimal? La concepción de infinitesimal hoy, apunta Putnam (1995), al tratar de las ideas de Peirce, es el intervalo de una línea cuyo extensión no es cero, pero es menor que cualquier real positivo.
2. Vea Hausman (1993), Hookway (1992) y Rosa (2003), Ibri (1992) entre otros.
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Fecha del documento: 24 de octubre 2006
Ultima actualización: 24 de octubre 2006