II Jornadas "Peirce en Argentina"
7-8 de septiembre del 2006
En la actualidad, es especial a partir del giro iniciado a principio del siglo XX en los estudios de lógica, es bastante común hablar diferentes "lógicas" en alusión a diferentes cálculos deductivos, o en términos aún más generales, en alusión a diferentes sistemas lógicos-formales. Para una concepción de la lógica como ésta, "una lógica" es sólo un sistema deductivo formal, que se concibe como el resultado de una construcción convencional (aunque no totalmente arbitraria), y se define mediante sus reglas de construcción, las cuales han de poder ser establecidas sin hacer referencia a contenidos semánticos de ninguna índole. Es así como, y dicho de una manera muy imprecisa, la semántica sólo llega "después" (aunque para muchos debió estar desde "antes"), esto es, cuando cabe proporcionar diferentes interpretaciones para el lenguaje del sistema lógico-formal. Visto de este modo, el estudio de la lógica es el estudio de un cálculo no-interpretado, de su completitud semántica, de su consistencia, de su decidibilidad y así en más1. Esto vuelve a la lógica una rama de la matemática. Esta concepción de la lógica es muy diferente de la que puede rastrearse entre los lógicistas y en especial es muy diferente de la adjudicable a Bertrand Russell2. Para éste, la lógica no debe ser identificada con algún cálculo formal no-interpretado y la ciencia de la lógica no debe pensarse como siendo una teoría acerca de los sistemas formales. En The Principles of Mathematics3 presenta a la lógica como una ciencia sintética a priori que se aplica a toda entidad, cualquiera que esta sea, de manera irrestricta, siendo a la vez completamente general. Pero esta noción de generalidad no debe ser entendida en términos puramente formales, como aquella que no habla de ningún tipo particular de entidad, aquella que no trata de ninguna materia o asunto en particular, y que es aplicable indistintamente no teniendo en cuenta el ámbito de cosas que queremos investigar. Las leyes lógicas para Russell son generales en un sentido estructural, en el sentido de ser las verdades más generales acerca de las estructuras lógicas, esto es, la lógica como la ciencia de la estructura de proposiciones. No debemos entonces, confundir la ciencia de la lógica con el sistema puramente formal con el que la capturamos.
En cuanto al tema que nos ocupa en esta mesa, esto es, los orígenes de la moderna teoría de la cuantificación, es claro que tanto Frege como Russell le otorgaron a la cuantificación un rol central en sus sistemas lógicos. En Principles Russell ofrece un pormenorizado análisis de expresiones de generalidad como "todo", "uno", "alguno", el que guarda una estrecha conexión conceptual con su teoría de la denotación4, cuya primera versión también fue presentada en este texto, y con lo que luego dará lugar a su celebre teoría de las descripciones definidas. Tanto Russell como Frege no sólo introdujeron una notación simbólica para expresar la noción de "para todo", sino que también se plantean en términos conceptuales la pregunta "¿para todo qué?" o en otros términos, qué es lo que esta noción de "para todo" alcanza. La respuesta dependerá del tipo de entidad o variables cuantificadas y no será la misma para Frege que para Russell: para él primero debemos hablar de todos los objetos y/o de todas la funciones, mientras que para Russell de lo que hablamos es todos los individuos y/o de todas las funciones proposicionales, de un orden o tipo particular. El rango de los cuantificadores está "fijado de antemano", por así decirlo, y esto para todas las entidades. Las proposiciones no son esquemas o estructuras vaciadas de contenido a las que podemos asignar un valor u otro. Cada fórmula lógica tiene un contenido fijo. La lógica resulta ser así acerca de algo, y este algo es "todo". Las leyes lógicas tienen contenido y son además las verdades más generales acerca de la estructura del universo.
Una de las características de los sistemas lógicos del logicismo, (incluidos los propuestos por Russell) es que no hay una separación explícita entre lo que hoy denominaríamos una lógica de primer orden y el resto del sistema. Se puede introducir esta distinción considerando un fragmentos de estos sistemas (el fragmento donde sólo admitimos variables de un tipo restringido y donde no hay más cuantificadores que los que tienes alcance sobre objetos en Frege o individuos en Russell5. Lo que llamamos validez podría ser puesto en correlación con la verdad de una fórmula cuando todas las variables de un tipo superior contenidas en la formula son universalmente cuantificadas. Este fragmento correspondería a lo que hoy llamamos teoría de la cuantificación. Pero no sólo resultaría inexacta esta correlación sino que además desde un punto de vista logicista lo que a lo sumo obtendríamos con este recorte es fijar la atención sólo en una parte de la lógica sin que esto implique que el fragmento así recortado constituya per se un sistema de lógica que adecuadamente de cuenta de una noción de inferencia cuatificacional aplicable a cualquier área del cocimiento. Aunque este fragmento contuviera leyes lógicas acerca del comportamiento de objetos o individuos, desde un punto de vista logicista nada nos permite conjeturar que esas leyes son aplicables a entidades de otro tipo, dado que estas leyes están determinadas por el tipo de variables que contienen y que ninguna variable puede tener alcance sobre todas las entidades. No podemos captar lo que constituye la concepción russelliana, y en general logicista de la lógica, a partir de la idea de una teoría cuantificacional que sirva como esquema general o lo que a veces se ha dado en llamar a partir de una "lógica presupuesta", esto es, un esquema o una estructura lógica con la que podemos reconstruir a una determinada área de conocimiento, por ejemplo, un área particular de la matemática. Esta aplicabilidad consistiría en procedimiento como aquel donde se especifica un vocabulario, un conjunto de axiomas con ese vocabulario y se usan ciertos axiomas cuantificacionales y reglas de inferencias para obtener resultados particulares en áreas particulares. Pero esto presupone una noción de generalidad de las verdades lógicas asimilable a la idea de que ellas son aplicables no importando el tipo de cosas que queramos investigar en particular. Pero esta no es la idea de generalidad presente en ningún fragmento del sistema russelliano.
Disponer en lógica de un cálculo, en el sentido moderno arriba especificado, conlleva, entre otras cosas, la posibilidad de interpretar dicho cálculo sobre dominios (restrictos) alternativos. Russell obviamente no ignoraba que cuando una ciencia es representada por un cálculo axiomatizado, éste puede recibir distintas interpretaciones. Claramente observa que la aritmética, que puede ser vista como versando acerca de todas las progresiones y representada por un sistema con postulados como los de Peano/Dedekind, puede además ser presentada bajo distintas interpretaciones de lo que se entiende por "cero", "número" y "sucesor". No es a esto a lo que Russell se opone cuando rechaza la conclusión de Peano de que cualquier progresión adecuada puede ser vista como una buena representación de los que son los números naturales. El análisis lógico (conceptual) logicista del concepto de número cardinal es el que revela la autentica naturaleza de los números naturales en la visión de Russell. Dicho análisis se funda en una especial concepción de la lógica y por ende del concepto de cuantificación en ella contenida. Resulta de este modo que, el hecho de que existan diversas interpretaciones de los sistemas formales con los que se pretende representar la estructura de los números naturales que el análisis conceptual muestra, es simplemente irrelevante.
Como antes lo había hecho Frege, Russell en Misticismo y lógica6, caracteriza su forma de hacer lógica no meramente como un calculus ratiocinator, a la manera de Boole, sino como un characterística lingua universalis, tal como Leibniz la había concebido. Esta distinción fue retomada en los años 60´dando lugar a una dicotomía en la historiografía de la lógica según la cual hay dos tradiciones (logicista y algebraica para denominarlas de alguna manera) claramente diferenciables en la lógica moderna7. Una de las características sobresalientes de tradición a la que pertenecerían tanto Russell como Frege es la de concebir a la lógica como un lenguaje universal, cuyo contenido le pertenece por derecho propio, y donde las nociones de verdad lógica y validez están determinada por la clausura deductiva los axiomas. Esto hace que para esta concepción de la lógica toda consideración metasistemática más que indeseable resulte ilegítima. Según esta visión no hay por dirimir ninguna cuestión metasistemática de importancia: la lógica está en el sistema mismo (sin que éste, claro está pueda ser asimilado a una noción de un mero cálculo), los resultados de éste son las verdades lógicas y llegamos a ellas por medio de derivaciones en el sistema.
Mucho antes de que esta revisión de las ideas en torno deferentes tradiciones en la lógica moderna se planteara en los en los años sesenta, la ausencia e incompatibilidad de consideraciones metasistemáticas en la visión Russell acerca de la lógica, ya había sido puesta de manifiesto. En una nota crítica de Principia Mathematica que data de 19268, Henry Sheffer llamó a este estar dentro de la lógica, sin tener un punto de vista externo a la misma predicación logocéntrica. "[E]l intento de formular una fundamentación de la lógica se vuelve arduo [si se supone un] predicado logocéntrico. A fin de dar una explicación de la lógica debemos presuponer y emplear la lógica [misma]. La tarea, sin embargo, no es imposible, a condición de que tengamos continuamente presente tres normas". La primera de estas tres normas o preceptos es que debemos asumir validez de la lógica, sin que esto conlleve ningún proceso de validación, sino simplemente el hacer explicito algo, la validez misma del sistema. La presencia de una predicación logocéntrica además dificulta la discriminación entre aquellos problemas que pertenecen a lo que Scheffer denomina análisis simbólico, tanto en su fase notacional como en su fase interpretativa, de aquellos que competen al estudio de las condiciones que hacen a estas fases significativas y válidas. Dicho esto, sin embargo, la críticas de Scheffer en relación a la lógica de Principia no están relacionada con la presencia de esta predicación logocéntrica, sino a lo que él considera una confusión en el desarrollo mismo análisis simbólico entre lo que denominó fase notacional y fase interpretativa.
Si el sistema constituye un lenguaje lógico universal, no hay entonces un punto de vista externo desde donde ver y discutir al sistema mismo. Volvamos ahora al ámbito de la teoría cuantificacional. La cuantificación es esencial en la codificación y representación de los principios del razonamiento en el programa logicista, entre muchas otras razones debido a que la incorporación de la cuantificación nos habilita un discurso acerca de la infinitud. Pero el significado de la cuantificación para Russell, sólo se muestra en la manera misma en que empleamos los signos, por la reglas de inferencia en el marco de un lenguaje lógico universal: ninguna explicación externa tiene fuerza lógica alguna. Se trata, en cierta medida, de la misma dificultad presente en el famoso problema fregeano del concepto de caballo que no es un concepto. La naturaleza de los cuantificadores, en la concepción de la lógica de Russell, nos es dada sólo por lo que, según Principia, nos esta permitido hacer con ellos.
Para finalizar quisiera hacer un breve comentario sobre Russell y su relación
con la tradición algebraica. Mucho se ha dicho sobre la escasa atención
y la pequeña importancia que Russell le daba al trabajo de Peirce y Schröder
en particular y a la así llamada tradición algebraica de la lógica,
en general, comparado con la papel preponderante que en su trabajo tuvieron
la obra de Frege y Peano. Una cierta evidencia histórica ha llevado a
algunos historiadores a afirmar que Russell deliberadamente menospreciaba en
público el trabajo de los lógicos de la tradición algebraica,
a la vez que privadamente admitía su valor positivo9.
Esta actitud de Russell parece haber tenido una influencia historiográfica
importante en desmedro de dicha tradición. También parece haber
una cierta evidencia en torno a que tampoco ni Peirce ni sus seguidores tuvieron
una gran estima por el trabajo de Russell. Más allá de cuestiones
que quizás están más cerca de lo que se podría calificar
como anecdótico, lo que creo que quizás sí pueda resultar
interesante desde el punto de vista de la historiografía de la lógica
moderna, es que estas revisiones que conllevan una revalorización de
los aporte de Peirce a la teoría de la cuantificación y en general
a la lógica moderna, puedan también echar luz sobre la pertinencia
de esta distinción entre dos tradiciones. Quizás la división
no sea ni tan drástica ni tan marcada como algunos creyeron, ni sea tampoco
tan artificial, como se ha sugerido recientemente. El análisis de las
influencia mutuas parece ser una visión más adecuada, sobre todo
si de lo que se trata es de poder visualizar como detrás de lo que fue
y es el desarrollo continuo de la lógica tanto a nivel técnico
como teórico, desde el siglo XIX hasta nuestros días, se esconden
diversas posiciones, concepciones y disputas en torno a la naturaleza misma
de la lógica que sin duda son de enorme interés para el filósofo
de la lógica.
1. Para una concepción como ésta la pregunta filosófica acerca de qué es la lógica, se reduce a la pregunta qué entendemos por un sistema de lógica.
2. Para un trabajo sobre los distintos aspectos de la concepción de la lógica de Russell puede verse Nicholas Griffin: "Russell on the Nature of Logic (1903-1913)", en Synthese, vol 45, 1980, pp 117-188.
3. Bertrand Russell: The Principles of Mathematics, W.W. Norton & Company, New York, 1981.
4. Véase Paolo Dau: "Russell´s First Theory of Denoting and Quantification" en Notre Dame Journal of Formal Logic, vol 27, n° 1, 1986 pp 133-168.
5. Para una reconstrucción del sistema formal presentado en Principles por Russell, véase Gregory Landini: "Logic in Russell Principles of Mathematics", Notre Dame Journal of Formal Logic, vol 37, n° 4, 1996, pp 554-585.
6. Véase Bertrand Russell: "Mathematics and Metaphysicians", pp 59-74 en Mysticism and Logic, Logmans, New York, 1963.
7. Véase Jean van Heijenoort: "Logic as language and logic as calculus", en Synthese, vol 17, 1967, pp 324-330.
8. Henry M. Sheffer: "Review of Principia Mathematica", en Isis, vol 8, N° 1 (1926) pp 226-231.
9. Véase Irving Anellis : "Peirce Rustled, Russell Pierced: How Charles Peirce and Bertrand Russell viewd Each Others Work in Logic, and an Assessment of Russell´s Accuracy and Role in the Historiography of Logic", en Modern Logic 5 (1995), 270-328.
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Fecha del documento: 5 de octubre 2006
Ultima actualización: 5 de octubre 2006