LA DOCTRINA DE LAS POSIBILIDADES


Charles S. Peirce (1878)

Traducción castellana de Carmen Ruiz (2000)


P 120: Popular Science Monthly 12 (Marzo 1878): 604-15. [También publicada en W3: 276-89 y en CP 2.645-60. Aunque la tercera y la cuarta "Explicaciones" estaban destinadas a ser un solo artículo, los editores del PSM lo publicaron en dos partes en dos meses sucesivos. En 1893, Peirce volvió a mecanografiar el tercer artículo para que sirviera como el artículo 10 de "La búsqueda de un método" y como el capítulo 18 de "Cómo razonar" (MS 424) y, en 1910, escribió varias "Notas al tercer artículo de C. S. P. en el Pop. Sci. Monthly. 1878, Marzo" (en MSS 703 y 704); algunos de los cambios del texto mecanografiado y una de las notas de 1910 están registradas en las Notas]. En una temprana discusión acerca de lo que llegaría a ser más tarde su sinequismo, Peirce argumenta que la suposición de la continuidad proporciona un poderoso motor a la lógica, y desarrolla su teoría de las probabilidades como la ciencia de la lógica tratada cuantitativamente (o como la lógica general). Para ser lógicos, dice Peirce, los hombres no deben ser egoístas, ya que la lógica requiere la identificación de los intereses de uno con los de una comunidad ilimitada. ( Peirce también discute la probabilidad de un evento no repetible en un caso que Hilary Putnam ha llamado "El rompecabezas de Peirce").

I

Es una observación común la de que una ciencia comienza a ser exacta por primera vez cuando es tratada cuantitativamente. Las llamadas ciencias exactas no son otras que las matemáticas. Los químicos razonaron de un modo impreciso hasta que Lavoisier les mostró cómo aplicar la balanza a la verificación de sus teorías, fue entonces cuando la química saltó de repente a la posición de la más perfecta de las ciencias clasificatorias. De este modo, ha llegado a ser tan precisa y segura que pensamos en ella junto con la óptica, la termótica y la eléctrica. Pero éstos son estudios de leyes generales, mientras que la química considera meramente las relaciones y la clasificación de ciertos objetos; y pertenece, en realidad, a la misma categoría que la botánica sistemática y la zoología. Compárenla con estas últimas, sin embargo, y la ventaja que se deriva de su tratamiento cuantitativo es muy evidente1.

Las escalas numéricas más rudimentarias, como las que los minerólogos usan para distinguir los diferentes grados de dureza, resultan útiles. El simple cálculo de pistilos y estambres bastó para llevar a la botánica desde caos total hasta alguna clase de forma. Sin embargo, la ventaja del tratamiento matemático proviene no tanto del contar como del medir, no tanto de la idea de número, como de la del continuo. El número, después de todo, sólo sirve para sujetarnos a una precisión en nuestros pensamientos que, por muy beneficiosos que sean, rara vez conducen a concepciones elevadas, y frecuentemente desciende hasta la insignificancia. De aquellas dos facultades de las que habla Bacon2, aquella que señala diferencias y aquella que advierte semejanzas, el empleo del número puede ayudar lo mínimo; el uso excesivo debe tender a estrechar los poderes de la mente. Pero la concepción de la cantidad continua tiene un gran campo que cubrir, independientemente de cualquier intento de precisión. Lejos de tender hacia la exageración de las diferencias, es el instrumento directo de las más finas generalizaciones. Cuando un naturalista desea estudiar una especie, recoge un considerable número de ejemplares más o menos similares. Al contemplarlos, observa que algunos de ellos son más o menos parecidos en un particular aspecto. Todos tienen, por ejemplo, cierta marca en forma de S. Observa que no son precisamente parecidos en este aspecto; la S no tiene precisamente la misma forma, pero las diferencias son tales que le llevan a pensar que podrían encontrarse formas intermedias entre dos cualesquiera de las que tiene. Encuentra, ahora, otras formas aparentemente bastante diferentes -digamos una marca en forma de C- y la pregunta es si puede encontrar unas intermedias que conecten estas últimas con las otras. A menudo logra hacer esto en casos en los que se pensaría al principio imposibles; mientras, algunas veces encuentra que aquellos que, a primera vista, difieren mucho menos, están separados en la Naturaleza por la no-existencia de intermediarios. De este modo, él construye desde el estudio de la Naturaleza una nueva concepción general de la característica en cuestión. Obtiene, por ejemplo, una idea de una hoja que incluye cada parte de la flor, y una idea de vértebra que incluye el cráneo. Sin duda, no necesito decir más para mostrar qué motor lógico hay aquí. Es la esencia del método del naturalista. Cómo él lo aplica primero a una característica, luego a otra y, finalmente, obtiene la noción de una especie de animales, entre cuyos miembros las diferencias, por muy grandes que sean, están confinadas dentro de unos límites, es un asunto que aquí no nos concierne. El método entero de clasificación debe ser considerado después; en este momento, sólo deseo señalar que el naturalista construye sus concepciones aprovechando la idea de continuidad, o el paso de una forma a otra mediante grados no perceptibles. Ahora, los naturalistas son los grandes constructores de concepciones; no hay otra rama de la ciencia en la que se haya hecho más trabajo que en la suya; debemos, en gran medida, tomarlos como nuestros maestros en esta importante parte de la lógica. Se encontrará en todas partes que la idea de continuidad es una ayuda poderosa para la formación de la verdad y de concepciones fructíferas. Por medio de ello, las diferencias más grandes se disipan y resuelven en diferencias de grado, y su incesante aplicación es de gran valor para ampliar nuestras concepciones. En la presente serie de artículos, propongo hacer un gran uso de esta idea; la particular serie de falacias importantes, que, surgiendo de su negación, han desolado la filosofía, deben ser estudiadas de cerca más adelante. Por ahora, simplemente llamo la atención del lector sobre la utilidad de esta concepción.

En los estudios de los números, la idea de continuidad es tan indispensable, que se introduce constantemente incluso donde no hay, en realidad, continuidad, como cuando decimos que en los Estados Unidos hay 10.7 habitantes por milla cuadrada, o que en Nueva York 14.72 personas viven en la casa media*. Otro ejemplo es esa ley de la distribución de errores que Quételet, Galton3 y otros, han aplicado con mucho éxito al estudio de cuestiones biológicas y sociales. Esta aplicación de la continuidad a casos donde no existe realmente ilustra también otro punto que, a partir de ahora, demanda un estudio separado, a saber, la enorme utilidad que las ficciones tienen a veces en la ciencia.


II

La teoría de las probabilidades es simplemente la ciencia de la lógica tratada cuantitativamente. Hay dos certezas concebibles en referencia a cualquier hipótesis, la certeza de su verdad y la certeza de su falsedad. Los números uno y cero son apropiados, en este cálculo, para señalar estos extremos del conocimiento; mientras que las fracciones que tienen valores intermedios entre ellos indican, como podemos decir vagamente, los grados en los que la evidencia se inclina hacia uno o el otro. El problema general de las probabilidades es, el determinar la probabilidad numérica de un hecho posible, desde un estado de hechos dado. Esto es lo mismo que preguntarse qué valor tienen los hechos dados, considerados como evidencia para probar el hecho posible. Por eso, el problema de las probabilidades es simplemente es problema general de la lógica.

La probabilidad es una cantidad continua, así que pueden esperarse enormes ventajas de este modo de estudiar la lógica. Algunos escritores han ido tan lejos que mantienen que, por medio del cálculo de las posibilidades, toda inferencia sólida puede ser representada por operaciones aritméticas legítimas con los números dados en las premisas. Si esto es, de verdad, cierto, el gran problema de la lógica, como es el de que la observación de un hecho puede proporcionarnos el conocimiento de otro hecho independiente, se reduce a una mera cuestión de aritmética. Parece apropiado examinar esta pretensión antes de emprender cualquier solución más recóndita de la paradoja.

Pero, desafortunadamente, los que escriben sobre probabilidades no están de acuerdo con respecto a este resultado. Esta rama de las matemáticas es la única, creo, en la que autores buenos consiguen con frecuencia resultados totalmente erróneos. En la geometría elemental el razonamiento es falaz frecuentemente, sin embargo, se evitan las conclusiones erróneas; pero podría dudarse que exista un solo tratado extenso sobre probabilidades que no contenga soluciones absolutamente insostenibles. Esto es debido en parte al deseo de cualquier método regular de procedimiento; ya que el tema incluye demasiadas sutilezas para facilitar el poner sus problemas en ecuaciones sin tal ayuda. Pero, más allá de esto, los principios fundamentales de su cálculo son más o menos disputados. Con respecto a esa clase de cuestiones a las que se aplica principalmente por propósitos prácticos, hay en comparación poca duda; en cambio, con respecto a otras a las que se ha buscado extenderlo, la opinión no está demasiado fijada.

Esta última clase de dificultades sólo puede ser vencida dejando perfectamente clara en nuestras mentes la idea de probabilidad de la manera en que se expuso en nuestro último artículo4.


III

Para obtener una clara idea de lo que queremos decir con probabilidad, tenemos que considerar qué diferencia real y sensible hay entre un grado de probabilidad y otro.

El carácter de probabilidad pertenece primariamente, sin duda, a ciertas inferencias. Locke lo explica como sigue. Tras señalar que el matemático conoce con seguridad que la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos porque aprehende la prueba geométrica, continúa del siguiente modo:

Pero otro hombre que nunca se tomó la molestia de observar la demostración, al oír a un matemático, un hombre de crédito, afirmar que los tres ángulos de un triángulo son iguales a dos rectos, asiente a ello; esto es, lo recibe como verdadero. En tal caso, el fundamento de su asentimiento es la probabilidad de la cosa, siendo la prueba tal que, en la mayor parte, lleva la verdad consigo; ya que el hombre por cuyo testimonio la recibe no suele afirmar nada contrario, o por encima de su conocimiento, especialmente en temas de este tipo5.

El celebrado Ensayo sobre el entendimiento humano contiene muchos pasajes que, como éste, dan los primeros pasos en análisis profundos que no se desarrollan más adelante. En el primero de estos artículos6 se demostró que la validez de una inferencia no depende de ninguna tendencia de la mente a aceptarla, por muy fuerte que sea esa tendencia; sino que consiste en el hecho real de que, cuando las premisas como las del argumento en cuestión son verdaderas, las conclusiones relacionadas con ellas, como la de este argumento, son también verdaderas. Se ha observado que en una mente lógica un argumento es concebido siempre como un miembro de un género de argumentos todos ellos construidos de la misma manera, tales que, cuando sus premisas son hechos reales, las conclusiones también lo son. Si el argumento es demostrativo, entonces éste es siempre así; si es sólo probable, entonces es así para la mayoría. Como dice Locke, el argumento probable es "tal que, en su mayor parte, lleva la verdad consigo7".

Según esto, esa diferencia real y sensible entre un grado de probabilidad y otro, en la que yace el significado de la distinción, es la de que en el empleo frecuente de dos modos diferentes de inferencia, uno conllevará la verdad más a menudo que el otro. Es evidente que ésta es la única diferencia que hay en el hecho existente. Teniendo ciertas premisas, un hombre saca cierta conclusión, y en tanto que concierne sólo a esta inferencia, la única pregunta práctica posible es si esa conclusión es verdadera o no, y entre la existencia o no-existencia no hay término medio. "Sólo el ser es y la nada no es en absoluto", dice Parménides8; esto está en estricta consonancia con el análisis del concepto de realidad dado en el último artículo9. Ya que encontramos que la distinción entre realidad y ficción depende de la suposición de que una investigación suficiente causaría una opinión destinada a ser recibida universalmente y rechazadas todas las demás. Esa presuposición contenida en las mismas concepciones de realidad y de producto de la imaginación, contiene una completa división de las dos. Es la idea o cielo o infierno en el dominio del pensamiento. Pero, a la larga, hay un hecho real que corresponde a la idea de probabilidad, y es que un modo dado de inferencia a veces se comprueba exitoso y otras veces no, y eso en una proporción finalmente fija. Mientras continuamos sacando inferencia tras inferencia del tipo dado, puede esperarse durante los primeros diez o cien casos que la proporción de éxitos muestre fluctuaciones considerables; pero cuando entramos en los miles y millones, estas fluctuaciones se hacen cada vez menores; y, si continuamos lo suficiente, la proporción se aproximará a un límite fijo. Podemos, por tanto, definir la probabilidad de un modo de argumento como la proporción de casos en los que conlleva la verdad.

La inferencia de la premisa, A, a la conclusión, B, depende, como hemos visto, del principio rector, de que si un hecho de la clase A es verdadero, un hecho de la clase B es verdadero. La probabilidad consiste en la fracción cuyo numerador es el número de veces en que ambos A y B son verdaderos, y cuyo denominador es el número total de veces en que A es verdadero, lo sea B o no. En lugar de hablar de esto como de la probabilidad de la inferencia, no hay la más pequeña objeción en llamarla la probabilidad de que si A ocurre, B ocurre. Sin embargo, hablar de la probabilidad del evento B, sin nombrar la condición, no tiene realmente ningún sentido. Es cierto que cuando es perfectamente obvio que se supone la condición, la elipsis puede permitirse. Pero deberíamos evitar contraer el hábito de usar el lenguaje de esta manera (universal como es el hábito), porque da lugar a un modo impreciso de pensamiento, como si la acción de la causalidad pudiera bien determinar que va a ocurrir un evento o determinar que no va a ocurrir, o dejarlo más o menos libre para que suceda o no, como el hacer surgir una oportunidad heredada con relación a su existencia. Es bastante claro para mí que algunos de los errores peores y más persistentes en el uso de la doctrina de las posibilidades han surgido de esta manera viciosa de expresión10.


IV

Pero queda por aclarar un punto importante. De acuerdo con lo que se ha dicho, la idea de probabilidad pertenece esencialmente a una clase de inferencia que se repite indefinidamente. Una inferencia individual debe ser o verdadera o falsa, y puede no mostrar ningún efecto de probabilidad; por lo tanto, en referencia a un simple caso considerado en sí mismo, la probabilidad puede no tener significado. Sin embargo, si un hombre tuviera que elegir entre sacar una carta de una baraja que contiene veinticinco cartas rojas y una negra, o de una baraja que contiene veinticinco negras y una roja, y si el sacar una carta roja estuviera destinado a transportarle a la felicidad eterna, y el sacar una negra a enviarle a la eterna aflicción, sería tonto negar que él tendría que preferir el paquete que contiene una mayor proporción de cartas rojas, aunque, por la naturaleza del riesgo, no podría repetirse. No es fácil reconciliar esto con nuestro análisis de la concepción de posibilidad. Pero suponed que él eligiera la baraja roja y sacara la carta equivocada, ¿qué consuelo tendría? Él podría decir que había actuado de acuerdo a la razón, pero eso sólo mostraría que su razón era absolutamente inútil. Y si eligiera la carta correcta, ¿cómo podría considerarlo más que como un feliz accidente? No podría decir que si la hubiera sacado del otro paquete, podría haber sacado la equivocada, porque una hipotética proposición tal como, "si A, entonces B", no significa nada con referencia a un caso singular. La verdad consiste en la existencia de un hecho real que se corresponde con una proposición verdadera. Correspondiente a la proposición "si A, entonces B", puede darse el hecho de que siempre que un evento tal como A sucede, un evento tal como B sucede. Pero en el caso supuesto, que no tiene paralelo con lo que a este hombre se refiere, no habría ningún hecho real cuya existencia pudiera otorgar alguna verdad a la afirmación de que, si él hubiera elegido la otra baraja, podría haber sacado una carta negra. En realidad, como la validez de una inferencia consiste en la verdad de la proposición hipotética de que si las premisas son verdaderas la conclusión también será verdadera, y como el único hecho real que puede corresponder a tal proposición es que siempre que el antecedente es verdadero el consecuente también lo es, se sigue que no puede en absoluto haber sentido alguno en razonar en un caso aislado.

Estas consideraciones parecen, a primera vista, deshacerse de la dificultad mencionada. Con todo, el caso del otro lado no está agotado todavía. Aunque la probabilidad manifestará su efecto probablemente en, digamos, un millar de riesgos, por una cierta proporción entre los números de éxitos y fracasos, esto, como hemos visto, es decir solamente que al final lo hará con toda certeza. Ahora bien, el número de riesgos, el número de posibles inferencias, que un hombre concluye en toda su vida, es finito, y no puede estar absolutamente seguro de que el resultado promedio concuerde totalmente con las probabilidades. Tomando todos los riesgos colectivamente, entonces, no puede ser seguro que no fallarán, y su caso no difiere, excepto de grado, del último supuesto. Es un resultado indudable de la teoría de probabilidades que todo jugador, si continúa lo suficientemente, debe al final arruinarse. Suponed que él prueba la martingala, que algunos creen infalible, y que está, según me han informado, invalidada en las casas de juego. En este método de juego, él apuesta primero $1 por ejemplo; si lo pierde apuesta $2; si pierde eso apuesta $4, si pierde apuesta $8; si entonces gana él ha perdido 1+2+4=7, y ha ganado $1 más; no importa cuántas apuestas pierda, la primera que gane le hará $1 más rico de lo que era al principio. De ese modo, probablemente ganará al principio; pero, al final, llegará el momento en que no tenga suficiente dinero para doblar, y tendrá, por tanto, que dejar pasar la apuesta. Esto probablemente pasará antes de que haya ganado tanto como en el primer lugar, así que esta ronda en su contra le dejará más pobre de lo que empezó; en un momento o en otro, esto sucederá seguro. Es cierto que siempre existe la posibilidad de una ganancia suya de cualquier suma que el banco pueda pagar, y esto en consecuencia nos lleva a una celebrada paradoja de que, aunque sea seguro que vaya a arruinarse, el valor de su expectativa calculada de acuerdo con las reglas usuales (que omite esta consideración) es grande. Pero ya juegue el jugador de esta manera o de cualquier otra, la misma cosa es verdadera, a saber, que, si él juega lo suficiente, seguro que en algún momento tendrá una ronda desfavorable tal que agotará su fortuna entera. Lo mismo es verdadero para una compañía de seguros. Dejemos a los directores tomarse las mayores molestias en ser independientes de grandes conflagraciones y pestilencias, sus actuarios pueden decirles que, de acuerdo con la doctrina de las posibilidades, llegará un momento, por fin, en el que sus pérdidas les harán parar. Puede que ellos salgan de una crisis tal por medios extraordinarios, pero empezarán otra vez desde una situación debilitada, y lo mismo ocurrirá otra vez muy pronto. Un actuario podría estar inclinado a negar esto, porque sabe que la expectativa de su compañía es muy grande, o quizá (desatendiendo el interés por el dinero) es infinita. Pero los cálculos de las expectativas no toman en cuenta la circunstancia ahora bajo consideración, que vuelve todo del revés. Sin embargo, no debe entenderse que digo que los seguros son por eso poco estables, en mayor medida que otro tipo de negocios. Todos los asuntos humanos descansan en probabilidades, y lo mismo es en todas partes. Si el hombre fuera inmortal podría estar perfectamente seguro de ver el día en el que todo en lo que había confiado traicionaba su confianza, y, en breve, de llegar con el tiempo a la desgracia sin esperanza. Él se derrumbaría, al final, como lo hace toda gran fortuna, como toda dinastía, como toda civilización. En lugar de esto nosotros tenemos la muerte.

Por otro lado, lo que, sin la muerte, le ocurriría a todo hombre, con la muerte le debe pasar a algún hombre. Al mismo tiempo, la muerte hace finito el número de nuestros riesgos, de nuestras inferencias, y del mismo modo hace incierto su resultado promedio. La misma idea de probabilidad y de razonamiento descansa sobre el supuesto de que este número es indefinidamente grande. Hemos aterrizado así en la misma dificultad que antes, y puedo ver una única solución. A mi parecer, somos conducidos a esto: que lógicamente la inexorabilidad requiere que nuestros intereses no estén limitados. No deben pararse en nuestro propio destino, sino que deben abarcar a la comunidad entera. Esta comunidad, de nuevo, no debe ser limitada, sino que debe extenderse a todas las razas de seres con los que podemos entrar en una inmediata o mediata relación intelectual. Debe alcanzar, por muy impreciso que sea, más allá de esta era geológica, más allá de todas las fronteras. El que no sacrifique su propia alma para salvar el mundo entero es, así me parece, ilógico en todas sus inferencias, colectivamente. La lógica está enraizada en el principio social.

Para ser lógicos los hombres no deberían ser egoístas; y, en realidad, no son tan egoístas como se piensa. La deliberada prosecución de los intereses de uno es una cosa diferente del egoísmo. El pobre no es egoísta; su dinero no le hace ningún bien, y se preocupa por lo que será de ello después de su muerte. Estamos constantemente hablando de nuestras posesiones en el Pacífico, y de nuestro destino como República, donde no están envueltos intereses personales, de una manera que muestra que tenemos otros más amplios. Discutimos con ansiedad el posible agotamiento del carbón en algunos cientos de años, o del enfriamiento del sol en algunos millones, y enseñamos en el más popular de los principios religiosos que podemos concebir la posibilidad de un hombre descendiendo a los infiernos para la salvación de sus semejantes.

Ahora bien, no es necesario para la logicidad que un hombre debiera él mismo ser capaz del heroísmo de la abnegación. Es suficiente que reconociera la posibilidad de ello, que percibiera que sólo las inferencias de ese hombre que lo tiene son lógicas de verdad, y, consecuentemente, considerara que las suyas son válidas sólo hasta donde son aceptadas por el héroe. En la medida en que refiere sus inferencias a ese modelo, él llega a estar identificado con una mente tal.

Esto hace que la logicidad sea lo suficientemente alcanzable. A veces podemos llegar al heroísmo personalmente. El soldado que corre para escalar una pared sabe que probablemente le dispararán, pero esto no es todo lo que le importa. También sabe que si todo el regimiento, con el que se identifica de sentimiento, ataca a la vez, se tomará el fuerte. En otros casos solamente podemos imitar la virtud. El hombre al que hemos supuesto teniendo que elegir entre dos barajas, quien, si no es un lógico, elegirá la baraja roja por el mero hábito, veremos, si es lo suficientemente lógico, que no puede ser lógico mientras sólo esté preocupado por su propio destino, pero que ese hombre a quien debería importarle en la misma medida lo que va a ocurrir en todos los casos posibles de esa clase podría actuar lógicamente, y elegiría la baraja con mayoría de cartas rojas, y, por tanto, aunque incapaz él mismo de tal sublimidad, nuestro lógico imitaría el efecto del coraje de ese hombre con el fin de compartir su logicidad.

Pero todo esto requiere una imaginada identificación de los intereses propios con los de una comunidad ilimitada. Ahora bien, no existen razones, y una posterior discusión mostrará que no puede haber razones, para pensar que la raza humana, o cualquier raza intelectual, existirá para siempre. Por otro lado, no puede haber ninguna razón en contra**; y, afortunadamente, como todo el requerimiento es que deberíamos tener ciertos pensamientos, no hay nada en los hechos como para prohibir que tengamos una esperanza, o tranquilidad y alegre deseo, de que la comunidad pueda durar más allá de una fecha asignable.

Podría parecer extraño que presentara tres sentimientos, a saber, el interés en una comunidad indefinida, el reconocimiento de la posibilidad de que este interés se haga supremo y la esperanza en la ilimitada continuidad de la actividad intelectual, como los requisitos indispensables de la lógica. Sin embargo, cuando consideramos que la lógica depende de una simple lucha por escapar de la duda, que, así como termina en la acción, debe empezar en la emoción, y que, más aún, la única causa del colocarnos en la razón es que otros métodos de escapar a la duda fallan a causa del impulso social, ¿por qué deberíamos asombrarnos de encontrar un sentimiento social presupuesto en el razonamiento? Con respecto a los otros dos sentimientos que encuentro necesarios, sólo lo son como ayudas y complementos de ése. Me interesa el notar que estos tres sentimientos parecen ser bastante parecidos al famoso trío de Caridad, Fe y Esperanza, que en la estimación de San Pablo, son los más excelentes y grandes dones espirituales11. Ni el Antiguo ni el Nuevo Testamento son un libro de texto de lógica de la ciencia, pero el último es con toda certeza la más alta autoridad que existe con relación a las disposiciones del corazón que un hombre debe tener.


V

Los promedios estadísticos tales como el número de habitantes por milla cuadrada, el número promedio de muertes por semana, el número de condenas por acusación o, hablando en general, el número de x por y, donde las x son una clase de cosas de las cuales algunas o todas están conectadas con otra clase de cosas, sus y, yo los califico de números relativos. De las dos clases de cosas a las que un número relativo se refiere, aquella que es un número puede ser llamada su relato, y aquella por la que se hace la numeración puede llamarse su correlato.

La probabilidad es un tipo de número relativo; concretamente, es la relación entre el número de argumentos de un cierto género que conlleva la verdad y el número total de argumentos de ese género, y las reglas para el cálculo de probabilidades se derivan muy fácilmente de esta consideración. Pueden darse todas aquí, ya que son extremadamente simples, y a veces es conveniente conocer algo de las reglas elementales del cálculo de posibilidades.

REGLA I. Cálculo directo. Para calcular directamente cualquier número relativo, digamos, por ejemplo, el número de pasajeros en el viaje medio de un tranvía, debemos proceder como sigue:

Contar el número de pasajeros por cada viaje; sumar todos estos números y dividir entre el número de viajes. Éstos son casos en los que esta regla puede simplificarse. Suponed que deseamos saber el número de habitantes por vivienda en Nueva York. La misma persona no puede habitar dos casas. Si divide su tiempo entre dos viviendas debe contarse como medio habitante de cada una. En este caso sólo tenemos que dividir el número total de habitantes de Nueva York entre el número de sus casas, sin necesidad de contar por separado aquellos que viven en cada una. Un procedimiento similar se aplicará dondequiera que cada relato individual pertenezca exclusivamente a cada correlato individual. Si queremos el número de x por y, y ninguna x pertenece a más de una y, sólo tenemos que dividir el número total de x de y por el número de y. Tal método podría, por supuesto, fallar si se aplica para hallar el número medio de pasajeros de tranvía por viaje. No podríamos dividir el número total de pasajeros por el número de viajes, ya que muchos de ellos podrían haber hecho muchos viajes.

Para hallar la probabilidad de que de una clase dada de premisas, A, se siga una clase dada de conclusiones, B, simplemente es necesario determinar qué proporción de las veces en las que las premisas son verdaderas, las conclusiones apropiadas también son verdaderas. En otras palabras, es el número de casos de la ocurrencia ambos eventos A y B, dividido por el número total de casos de la ocurrencia del evento A.

REGLA II. Adición de números relativos. Dados dos números relativos que tienen el mismo correlato, digamos el número de x por y, y el número de z por y; se requiere hallar el número de x y z juntos por y. Si no hay nada que sea a la vez un x y un z para el mismo y, la suma de los dos números dados daría el número requerido. Suponed, por ejemplo, que hubiéramos dado el promedio de amigos y el promedio de enemigos que los hombres tienen, la suma de estos dos es el promedio de personas interesadas en un hombre. Por otro lado, no servirá sencillamente el sumar el promedio de personas que tienen enfermedades constitucionales con el promedio de las que sobrepasan la edad militar y con el promedio de exentos del servicio militar por cada una de las causas especiales, con el fin de obtener el promedio de exentos de cualquier manera, ya que muchos están exentos de un modo u otro a la vez.

Esta regla es aplicable directamente a las probabilidades. Dada la probabilidad de que dos eventos diferentes y mutuamente excluyentes sucedan bajo el mismo conjunto supuesto de circunstancias. Dada, por ejemplo, la probabilidad de que si A entonces B, y también la probabilidad de que si A entonces C, entonces la suma de estas dos probabilidades es la probabilidad de que si A entonces ya B o C, mientras no haya ningún evento que pertenezca a la vez a las dos clases B y C.

REGLA III. Multiplicación de los números relativos. Suponed que nos han dado el número relativo de x por y; también el número relativo de z por x de y; o, para tomar un ejemplo concreto, suponed que nos han dado, primero, el número promedio de niños en las familias que viven en Nueva York; y, segundo, el número promedio de dientes en la cabeza de un niño de Nueva York -entonces el producto de estos dos números daría el promedio de los dientes de los niños de una familia de Nueva York. Sin embargo, este modo de calcular sólo se aplicará en general con dos restricciones. En primer lugar, no podría ser verdadero si el mismo niño pudiera pertenecer a diferentes familias, porque en tal caso aquellos niños que pertenecieran a varias familias diferentes podrían tener un número de dientes excepcionalmente grande o pequeño, que afectaría al promedio del número de los dientes de los niños en una familia más de lo que afectaría al promedio de dientes en la cabeza de un niño. En segundo lugar, la regla no sería verdadera si niños diferentes pudieran compartir el mismo diente, siendo el número promedio de dientes de los niños en tal caso evidentemente diferente del número promedio de dientes que pertenecen a un niño.

Al aplicar esta regla a las probabilidades, debemos proceder como sigue: Suponed que nos han dado la probabilidad de que la conclusión B se siga de la premisa A, representando B y A ciertas clases frecuentes de proposiciones. Suponed que también sabíamos la probabilidad de una inferencia en la que B debiera ser la premisa, y una proposición de una tercera clase C, la conclusión. Aquí, entonces, tenemos los materiales para la aplicación de esta regla. Tenemos, primero, el número relativo de las B por A. En siguiente lugar, deberíamos tener el número relativo de las C por B que se sigan de A. Pero al ser las clases de proposiciones tan seleccionadas que la probabilidad de C siguiéndose de cualquier B en general es justo la misma que la probabilidad de las C siguiéndose de una de esas B que son deducibles de A, las dos probabilidades pueden multiplicarse juntas, con el fin de dar la probabilidad de C siguiéndose de A. Existen las mismas restricciones de antes. Pudiera ocurrir que la probabilidad de B siguiéndose de A estuviera afectada por ciertas proposiciones de la clase B siguiéndose de varias proposiciones diferentes de la clase A. Pero, hablando prácticamente, todas estas restricciones tienen una consecuencia muy pequeña, y normalmente se reconoce como un principio universalmente verdadero que la probabilidad de que, si A es verdadero, B lo es, multiplicada por la probabilidad de que, si B es verdadero, C lo es, da la probabilidad de que, si A es verdadero, C lo es.

Hay una regla suplementaria a ésta, de la que se hace gran uso. No es universalmente válida, y tiene que ejercerse la mayor precaución al utilizarla -un doble cuidado, primero, nunca usarla cuando implique un error serio; y, segundo, nunca dejar de aprovecharla en casos en los que puede ser empleada. Esta regla depende del hecho de que en muchos casos la probabilidad de que C sea verdadera si B lo es, es sustancialmente la misma que la probabilidad de que C sea verdadera si A lo es. Suponed, por ejemplo, que tenemos el número promedio de varones entre los niños de Nueva York; suponed que también tenemos el promedio de niños nacidos en los meses de invierno entre aquellos nacidos en Nueva York. Ahora bien, podemos asumir, sin duda alguna, al menos como la proposición más aproximada (y ningún cálculo muy bueno podría servir con relación a las probabilidades), que la proporción de varones entre los niños nacidos en Nueva York es la misma proporción que los varones nacidos en verano en Nueva York y, por tanto, si los nombres de todos los niños nacidos durante un año se pusieran en una urna, podríamos multiplicar la probabilidad de que cualquier nombre sacado fuera el nombre de un niño varón por la probabilidad de que fuera el nombre de un niño nacido en verano, con el fin de obtener la probabilidad de que fuera el nombre de un niño varón nacido en verano. Las cuestiones de probabilidad, en los tratados sobre la materia, normalmente han sido tales como las que se refieren a bolas sacadas de urnas, juegos de cartas, etc., en los que la cuestión de la independencia de los eventos, como así se llama -lo que es decir, la cuestión de si la probabilidad de C, bajo la hipótesis B, es la misma que su probabilidad bajo la hipótesis A, ha sido muy simple; pero, en la aplicación de las probabilidades a cuestiones ordinarias de la vida, es a menudo una pregunta sumamente buena la de si dos eventos pueden ser considerados como independientes con la suficiente exactitud o no. En todos los cálculos sobre cartas se asume que las cartas están barajadas a fondo, lo que hace que un reparto sea bastante independiente de otro. En realidad, las cartas rara vez están, en la práctica, barajadas lo suficiente para que esto sea verdadero; por tanto, en un juego de whist, en el que las cartas han caído en grupos de cuatro del mismo palo, y están reunidas así, quedarán más o menos en conjuntos de cuatro del mismo palo, y esto será verdadero incluso después de ser barajadas. Al menos algunos rastros de este orden quedarán, a consecuencia de lo cual el número de "palos cortos", como se les llama -lo que es decir, el número de manos en las que las cartas están divididas desigualmente con respecto a las barajas- es menor que de lo que el cálculo lo haría ser; así que, cuando hay un mal reparto, en el que las cartas, al ser zarandeadas sobre la mesa, quedan barajadas muy a fondo, es común decir que en las manos repartidas a continuación hay generalmente palos cortos. Hace unos pocos años, un amigo mío, que juega mucho al whist, fue tan bueno como para contar el número de espadas que le repartieron en 165 manos, en las que las cartas habían sido, si acaso, barajadas mejor que lo usual. De acuerdo al cálculo, debería haber habido 85 de estas manos en las que mi amigo sostuviera o tres o cuatro espadas, pero en realidad hubo 94, mostrando la influencia del barajar imperfectamente.

De acuerdo con la opinión aquí expresada, éstas son las únicas reglas fundamentales para el cálculo de posibilidades. En algunos tratados se da una adicional, derivada de un concepto diferente de probabilidad, que si estuviera bien fundada podría ser la base de una teoría del razonamiento. Siendo, como creo que es, absolutamente absurda, su consideración sirve para conducirnos hacia la teoría verdadera; por el bien de esta discusión, que debe posponerse hasta el número siguiente, he llamado la atención del lector sobre la doctrina de las posibilidades, en este temprano estado de nuestros estudios de lógica de la ciencia.


Traducción de Carmen Ruiz (2000)



Notas

* Este modo de pensamiento está tan familiarmente asociado con toda consideración numérica exacta, que la expresión correspondiente es imitada por escritores poco profundos con el fin de producir la apariencia de exactitud donde no existe. Ciertos periódicos que aparentan un tono de hablar aprendido del "hombre medio", cuando simplemente quieren decir la mayoría de los hombres, no tienen ni idea de sacar un promedio.

** El concepto de probabilidad aquí expuesto es básicamente aquél desarrollado primero por el Sr. Venn, en su Logic of Chance. Por supuesto, una vaga comprensión de la idea había existido siempre, pero el problema era aclararlo perfectamente, y a él corresponde el crédito de hacer eso por primera vez.

1. En MS 703, Peirce ha añadido la siguiente nota a pie de página: "Esta caracterización de la química suena ahora verdaderamente anticuada; y aún fue justificada por un estado general de la mente de los químicos de esa época, como lo muestra el hecho de que sólo unos pocos meses antes vanít Hoff proclamó la ley de acción de las masas como algo absolutamente nuevo para la ciencia. Estoy convencido por la considerable búsqueda de los hechos pertinentes de que ninguna distinción entre diferentes ciencias relacionadas puede representar otra verdad de hecho que no sea una diferencia entre lo que habitualmente ocurre en las mentes, y mueve las investigaciones de los grupos generales de cultivadores de esas ciencias en el momento al que la distinción se refiere".

2. Francis Bacon, Novum Organum, libro 2, n. 27.

3. Véase Adolphe Quételet, Théorie des probabilités (Brussels, 1853) y Francis Galton, Hereditary Genius (London, 1869).

4. Véase el artículo 8

5. Locke, Essay, libro 4, cap. 15, sec. 1.

6. Véase el artículo 7.

7. Véase la nota 5.

8. Peirce encontró la afirmación de Parménides en el Wissennschaft der Logik, libro 1, parte 1, capítulo 1, sección C1, número 1.

9. Véase el artículo 8.

10. (Nota de la nota al pie de la página 4). Para la recensión de Peirce al libro de Venn véase W2: 98-102.

11. Véase I Cor. 13.




Fin de: "La doctrina de las posibilidades", C. S. Peirce (1878). Traducción castellana de C. Ruiz (2000). Original en: W3, pp. 276-89.

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Fecha del documento: 25 de enero 2001
Ultima actualización: 30 de enero 2011


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